Công thức lượng giác cơ bản và mở rộng

khodethi.com giới thiệu đến quý thầy, cô giáo cùng các em học sinh bài viết tuyển tập các công thức lượng giác cơ bản và mở rộng thường được sử dụng trong giải toán. Như chúng ta đều biết, việc nhớ hết toàn bộ các công thức lượng giác cơ bản và mở rộng là khó khăn, vì số lượng công thức khá nhiều, một số công thức phức tạp và dễ nhầm lẫn với các công thức khác. Tất nhiên, khodethi.com vẫn khuyến khích bạn đọc học thuộc các công thức lượng giác dưới đây, bởi như vậy, chúng ta sẽ chủ động trong quá trình giải quyết các bài toán.

1. Tính chất tuần hoàn

$\sin \alpha = \sin (\alpha + 2k\pi )$

$\cos \alpha = \cos (\alpha + 2k\pi )$

$\tan \alpha = \tan (\alpha + k\pi )$

$\cot \alpha = \cot (\alpha + k\pi )$

2. Công thức lượng giác các cung liên quan đặc biệt
a. Hai cung đối nhau:

$\cos ( - \alpha ) = \cos \alpha$

$\sin ( - \alpha ) = - \sin \alpha$

$\tan ( - \alpha ) = - \tan \alpha$

$\cot ( - \alpha ) = - \cot \alpha$

b. Hai cung bù nhau:

$\sin (\pi - \alpha ) = \sin \alpha$

$\cos (\pi - \alpha ) = - \cos \alpha$

$\tan (\pi - \alpha ) = - \tan \alpha$

$\cot (\pi - \alpha ) = - \cot \alpha$

c. Hai cung phụ nhau:

$\sin \left( {\frac{\pi }{2} - \alpha } \right) = \cos \alpha$

$\cos \left( {\frac{\pi }{2} - \alpha } \right) = \sin \alpha$

$\tan \left( {\frac{\pi }{2} - \alpha } \right) = \cot \alpha$

$\cot \left( {\frac{\pi }{2} - \alpha } \right) = \tan \alpha$

d. Hai cung hơn kém $\pi$:

$\sin (\pi + \alpha ) = - \sin \alpha$

$\cos (\pi + \alpha ) = - \cos \alpha$

$\tan (\pi + \alpha ) = \tan \alpha$

$\cot (\pi + \alpha ) = \cot \alpha$

e. Hai cung hơn kém $\frac{\pi }{2}$:

$\sin \left( {\frac{\pi }{2} + \alpha } \right) = \cos \alpha$

$\cos \left( {\frac{\pi }{2} + \alpha } \right) = - \sin \alpha$

$\tan \left( {\frac{\pi }{2} + \alpha } \right) = - \cot \alpha$

$\cot \left( {\frac{\pi }{2} + \alpha } \right) = - \tan \alpha$

3. Công thức lượng giác cơ bản

${\sin ^2}a + {\cos ^2}a = 1$

$\tan a = \frac{{\sin a}}{{\cos a}}$

$\cot a = \frac{{\cos a}}{{\sin a}}$

$1 + {\tan ^2}a = \frac{1}{{{{\cos }^2}a}}$

$1 + {\cot ^2}a = \frac{1}{{{{\sin }^2}a}}$

$\tan a\cot a = 1$

4. Công thức cộng

$\cos (a - b) = \cos a\cos b + \sin a\sin b$

$\cos (a + b) = \cos a\cos b - \sin a\sin b$

$\sin (a + b) = \sin a\cos b + \sin b\cos a$

$\sin (a - b) = \sin a\cos b - \sin b\cos a$

$\tan (a + b) = \frac{{\tan a + \tan b}}{{1 - \tan a\tan b}}$

$\tan (a - b) = \frac{{\tan a - \tan b}}{{1 + \tan a\tan b}}$

5. Công thức nhân đôi

$\sin 2a = 2\sin a\cos a$

$\cos 2a = {\cos ^2}a - {\sin ^2}a$ $= 2{\cos ^2}a - 1$ $= 1 - 2{\sin ^2}a$

$\tan 2a = \frac{{2\tan a}}{{1 - {{\tan }^2}a}}$ $\left( {a \ne \frac{\pi }{4} + 2k\pi } \right)$

$\cot 2a = \frac{{{{\cot }^2}a - 1}}{{2\cot a}}$ $\left( {a \ne k\frac{\pi }{2}} \right)$

6. Công thức nhân ba

$\sin 3a = 3\sin a - 4{\sin ^3}a$

$\cos 3a = 4{\cos ^3}a - 3\cos a$

$\tan 3a = \frac{{3\tan a - {{\tan }^3}a}}{{1 - 3{{\tan }^2}a}}$ $\left( {a \ne \frac{\pi }{6} + 2k\pi } \right)$

$\cot 3a = \frac{{3{{\cot }^2}a - 1}}{{{{\cot }^3}a - 3\cot a}}$ $\left( {a \ne k\frac{\pi }{3}} \right)$

7. Công thức biến đổi tích thành tổng

$\cos a\cos b = \frac{1}{2}\left[ {\cos (a - b) + \cos (a + b)} \right]$

$\sin a\sin b = \frac{1}{2}\left[ {\cos (a - b) - \cos (a + b)} \right]$

$\sin a\cos b = \frac{1}{2}\left[ {\sin (a + b) + \sin (a - b)} \right]$

8. Công thức biến đổi tổng thành tích

$\cos a + \cos b = 2\cos \frac{{a + b}}{2}\cos \frac{{a - b}}{2}$

$\cos a - \cos b = - 2\sin \frac{{a + b}}{2}\sin \frac{{a - b}}{2}$

$\sin a + \sin b = 2\sin \frac{{a + b}}{2}\cos \frac{{a - b}}{2}$

$\sin a - \sin b = 2\cos \frac{{a + b}}{2}\sin \frac{{a - b}}{2}$

$\cos a + \sin a$ $= \sqrt 2 \cos \left( {\frac{\pi }{4} - a} \right)$ $= \sqrt 2 \sin \left( {\frac{\pi }{4} + a} \right)$

$\cos a - \sin a$ $= \sqrt 2 \cos \left( {\frac{\pi }{4} + a} \right)$ $= \sqrt 2 \sin \left( {\frac{\pi }{4} - a} \right)$

$\tan a + \tan b = \frac{{\sin (a + b)}}{{\cos a\cos b}}$

$\tan a - \tan b = \frac{{\sin (a - b)}}{{\cos a\cos b}}$

$\cot a + \cot b = \frac{{\sin (a + b)}}{{\sin a\sin b}}$

$\cot a - \cot b = \frac{{\sin (b - a)}}{{\sin a\sin b}}$

$\cot a + \tan a = \frac{2}{{\sin 2a}}$

$\cot a - \tan a = 2\cot 2a$

9. Công thức hạ bậc

${\cos ^2}a = \frac{{1 + \cos 2a}}{2}$

${\sin ^2}a = \frac{{1 - \cos 2a}}{2}$

${\tan ^2}a = \frac{{1 - \cos 2a}}{{1 + \cos 2a}}$

${\sin ^2}a{\cos ^2}a = \frac{{1 - \cos 4a}}{8}$

${\cos ^3}a = \frac{{3\cos a + \cos 3a}}{4}$

${\sin ^3}a = \frac{{3\sin a - \sin 3a}}{4}$

${\sin ^4}a = \frac{{\cos 4a - 4\cos 2a + 3}}{8}$

${\cos ^4}a = \frac{{\cos 4a + 4\cos 2a + 3}}{8}$

10. Công thức biến đổi theo $\tan \frac{a}{2}$
Đặt $t = \tan \frac{a}{2}$ với ${a \ne \frac{\pi }{2} + k\pi }$, ${\frac{a}{2} \ne \frac{\pi }{4} + k\pi }.$ Ta có:

$\cos a = \frac{{1 - {t^2}}}{{1 + {t^2}}}$

$\sin a = \frac{{2t}}{{1 + {t^2}}}$

$\tan a = \frac{{2t}}{{1 - {t^2}}}$

11. Tập nghiệm phương trình lượng giác cơ bản

$\sin u = \sin v \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{l} {u = v + k2\pi }\\ {u = \pi - v + k2\pi } \end{array}} \right.$

$\cos u = \cos v \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{l} {u = v + k2\pi }\\ {u = - v + k2\pi } \end{array}} \right.$

$\tan u = \tan v \Leftrightarrow u = v + k\pi$

$\cot u = \cot v \Leftrightarrow u = v + k\pi$

Trường hợp đặc biệt:

$\sin u = 0 \Leftrightarrow u = k\pi$

$\sin u = 1 \Leftrightarrow u = \frac{\pi }{2} + k2\pi$

$\sin u = - 1 \Leftrightarrow u = - \frac{\pi }{2} + k2\pi$

$\cos u = 0 \Leftrightarrow u = \frac{\pi }{2} + k\pi$

$\cos u = 1 \Leftrightarrow u = k2\pi$

$\cos u = - 1 \Leftrightarrow u = \pi + k2\pi$

Lưu ý: Một số điều kiện về các ẩn số chúng tôi đã cố ý lược bỏ để bài viết trở nên tinh giản, thuận tiện cho việc tra cứu.