Dấu của nhị thức bậc nhất

Bài viết hướng dẫn phương pháp giải các dạng toán liên quan đến dấu của nhị thức bậc nhất như xét dấu biểu thức chứa nhị thức bậc nhất, ứng dụng xét dấu nhị thức bậc nhất trong việc giải toán.

A. KIẾN THỨC CẦN NẮM VỮNG
1. Nhị thức bậc nhất và dấu của nhị thức bậc nhất
a) Định nghĩa nhị thức bậc nhất:
• Nhị thức bậc nhất (đối với $x$) là biểu thức dạng $ax+b$, trong đó $a$ và $b$ là hai số cho trước với $a\ne 0.$
• ${{x}_{0}}=-\frac{b}{a}$ được gọi là nghiệm của nhị thức bậc nhất $f\left( x \right)=ax+b.$
b) Dấu của nhị thức bậc nhất:
• Nhị thức bậc nhất $f\left( x \right)=ax+b$ cùng dấu với hệ số $a$ khi $x$ lớn hơn nghiệm và trái dấu với hệ số $a$ khi $x$ nhỏ hơn nghiệm của nó.
• Bảng xét dấu nhị thức bậc nhất:

2. Ứng dụng dấu của nhị thức bậc nhất để giải toán
a) Giải bất phương trình tích:
Các dạng toán: $P(x)>0$, $P(x)≥0$, $P(x)<0$, $P(x)≤0$ trong đó $P\left( x \right)$ là tích các nhị thức bậc nhất.
Cách giải: Lập bảng xét dấu của $P\left( x \right)$, từ đó suy ra tập nghiệm của bất phương trình.
b) Giải bất phương trình chứa ẩn ở mẫu:
Các dạng toán: $\frac{P(x)}{Q(x)}>0$, $\frac{P(x)}{Q(x)}≥0$, $\frac{P(x)}{Q(x)}<0$, $\frac{P(x)}{Q(x)}≤0$ trong đó $P\left( x \right)$, $Q\left( x \right)$ là tích những nhị thức bậc nhất.
Cách giải: Lập bảng xét dấu của $\frac{P(x)}{Q(x)}$, từ đó suy ra tập nghiệm của bất phương trình.
c) Giải bất phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối (GTTĐ):
Sử dụng định nghĩa hoặc tính chất của giá trị tuyệt đối để khử dấu giá trị tuyệt đối.

B. CÁC DẠNG TOÁN VỀ DẤU CỦA NHỊ THỨC BẬC NHẤT VÀ VÍ DỤ MINH HỌA
Dạng toán 1. Lập bảng xét dấu biểu thức chứa nhị thức bậc nhất.
Ví dụ 1. Lập bảng xét dấu các biểu thức sau:
a) $-2x+3.$
b) $4x-12.$
c) ${{x}^{2}}-4.$
d) $-2{{x}^{2}}+5x-2.$

a) Ta có $-2x+3=0$ $\Leftrightarrow x=\frac{3}{2}$, $a=-2<0.$
Bảng xét dấu:

b) Ta có $4x-12=0$ $\Leftrightarrow x=3$, $a=4>0.$
Bảng xét dấu:

c) Ta có:
${{x}^{2}}-4=\left( x-2 \right)\left( x+2 \right).$
$x-2=0$ $\Leftrightarrow x=2.$
$x+2=0$ $\Leftrightarrow x=-2.$
Bảng xét dấu:

d) Ta có: $-2{{x}^{2}}+5x-2=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} x=2 \\ x=\frac{1}{2} \\ \end{matrix} \right.$
Suy ra $-2{{x}^{2}}+5x-2$ $=-2\left( x-2 \right)\left( x-\frac{1}{2} \right)$ $=\left( x-2 \right)\left( 1-2x \right).$
Bảng xét dấu:

Ví dụ 2. Lập bảng xét dấu các biểu thức sau:
a) $\frac{-2x+3}{x-2}.$
b) $\frac{4x-12}{{{x}^{2}}-4x}.$
c) $x\left( 4-{{x}^{2}} \right)(x+2).$
d) $1-\frac{4{{x}^{2}}}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}.$

a) Bảng xét dấu:

b) Ta có: $\frac{{4x - 12}}{{{x^2} - 4x}}$ $= \frac{{4x - 12}}{{x\left( {x - 4} \right)}}.$
Bảng xét dấu:

c) Ta có: $x\left( {4 - {x^2}} \right)(x + 2)$ $= x\left( {2 - x} \right){\left( {x + 2} \right)^2}.$
Bảng xét dấu:

d) Ta có: $1 - \frac{{4{x^2}}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}$ $= \frac{{{{\left( {x + 1} \right)}^2} - 4{x^2}}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}$ $= \frac{{\left( {3x + 1} \right)\left( {1 - x} \right)}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}.$
Bảng xét dấu:

Ví dụ 3. Tùy vào $m$ xét dấu các biểu thức sau $\frac{-2x+m}{x-2}.$

a) Ta có:
$x-2=0$ $\Leftrightarrow x=2.$
$-2x+m=0$ $\Leftrightarrow x=\frac{m}{2}.$
Trường hợp 1: $\frac{m}{2}>2$ $\Leftrightarrow m>4.$
Bảng xét dấu:

Suy ra $\frac{-2x+m}{x-2}>0$ $\Leftrightarrow x\in \left( 2;\frac{m}{2} \right)$ và $\frac{-2x+m}{x-2}<0$ $\Leftrightarrow x\in \left( -\infty ;2 \right)\cup \left( \frac{m}{2};+\infty \right).$
Trường hợp 2: $\frac{m}{2}=2$ $\Leftrightarrow m=4.$
Ta có $\frac{-2x+m}{x-2}=\frac{-2x+2}{x-2}=-2.$
Suy ra $\frac{-2x+m}{x-2}<0$ $\Leftrightarrow x\in \mathbb{R}\backslash \left\{ 2 \right\}.$
Trường hợp 3: $\frac{m}{2}<2$ $\Leftrightarrow m<4.$
Bảng xét dấu:

Suy ra $\frac{-2x+m}{x-2}>0$ $\Leftrightarrow x\in \left( \frac{m}{2};2 \right)$ và $\frac{-2x+m}{x-2}<0$ $\Leftrightarrow x\in \left( -\infty ;\frac{m}{2} \right)\cup \left( 2;+\infty \right).$

Dạng toán 2. Ứng dụng xét dấu của nhị thức bậc nhất vào giải toán.
Ví dụ 4. Giải các bất phương trình sau:
a) $\left( x-1 \right)\left( 2-3x \right)\ge 0.$
b) $\left( x-2 \right)\left( {{x}^{2}}-5x+4 \right)<0.$
c) $\left( 2x-1 \right)\left( {{x}^{3}}-1 \right)\le 0.$
d) $x\left( \sqrt{3}x-3 \right)\left( 3-{{x}^{2}} \right)\le 0.$

a) Ta có $\left( x-1 \right)\left( 2-3x \right)=0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} x=1 \\ x=\frac{2}{3} \\ \end{matrix} \right.$
Bảng xét dấu:

Suy ra bất phương trình có tập nghiệm là $S=\left[ \frac{2}{3};1 \right].$
b) Ta có $\left( x-2 \right)\left( {{x}^{2}}-5x+4 \right)$ $=\left( x-2 \right)\left( x-1 \right)\left( x-4 \right).$
Bảng xét dấu:

Suy ra bất phương trình có tập nghiệm là $S=\left( -\infty ;1 \right)\cup \left( 2;4 \right).$
c) Ta có $\left( 2x-1 \right)\left( {{x}^{3}}-1 \right)\le 0$ $\Leftrightarrow \left( 2x-1 \right)\left( x-1 \right)\left( {{x}^{2}}+x+1 \right)\le 0$ $\Leftrightarrow \left( 2x-1 \right)\left( x-1 \right)\le 0$ (vì ${{x}^{2}}+x+1={{\left( x+\frac{1}{2} \right)}^{2}}+\frac{3}{4}>0$).
Bảng xét dấu:

Suy ra bất phương trình có tập nghiệm là $S=\left[ \frac{1}{2};1 \right].$
d) Ta có $x\left( \sqrt{3}x-3 \right)\left( 3-{{x}^{2}} \right)\le 0$ $\Leftrightarrow x\sqrt{3}\left( x-\sqrt{3} \right)\left( \sqrt{3}-x \right)\left( \sqrt{3}+x \right)\le 0$ $\Leftrightarrow -\sqrt{3}x{{\left( x-\sqrt{3} \right)}^{2}}\left( x+\sqrt{3} \right)\le 0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} x=\sqrt{3} \\ x\left( x+\sqrt{3} \right)\ge 0 \\ \end{matrix} \right.$
Bảng xét dấu:

Suy ra $x\left( x+\sqrt{3} \right)\ge 0$ $\Leftrightarrow x\in (-\infty ;-\sqrt{3}]\cup [0;+\infty ).$
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: $S=(-\infty ;-\sqrt{3}]\cup [0;+\infty ).$

Ví dụ 5. Giải các bất phương trình sau:
a) $\frac{-2x+4}{\left( 2x-1 \right)\left( 3x+1 \right)}\le 0.$
b) $\frac{\left( x-3 \right)\left( x+2 \right)}{{{x}^{2}}-1}<1.$
c) $\frac{1}{{{\left( x-2 \right)}^{2}}}\le \frac{1}{x+4}.$

a) Bảng xét dấu:

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $S=(-\frac{1}{3};\frac{1}{2})\cup [\text{ 2};+\infty ).$
b) Ta có $\frac{\left( x-3 \right)\left( x+2 \right)}{{{x}^{2}}-1}<1$ $\Leftrightarrow 1-\frac{\left( x-3 \right)\left( x+2 \right)}{{{x}^{2}}-1}>0$ $\Leftrightarrow \frac{x+5}{\left( x-1 \right)\left( x+1 \right)}>0.$
Bảng xét dấu:

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $S=(-5;-1)\cup (1;+\infty ).$
c) Điều kiện xác định: $\left\{ \begin{matrix} x\ne 2 \\ x\ne -4 \\ \end{matrix} \right.$
Ta có $\frac{1}{{{\left( x-2 \right)}^{2}}}\le \frac{1}{x+4}$ $\Leftrightarrow \frac{1}{x+4}-\frac{1}{{{\left( x-2 \right)}^{2}}}\ge 0$ $\Leftrightarrow \frac{{{x}^{2}}-4x}{\left( x+4 \right){{\left( x-2 \right)}^{2}}}\ge 0$ $\Leftrightarrow \frac{x\left( x-4 \right)}{\left( x+4 \right){{\left( x-2 \right)}^{2}}}\ge 0$ $\Leftrightarrow \frac{x\left( x-4 \right)}{\left( x+4 \right)}\ge 0.$
Bảng xét dấu:

Kết hợp với điều kiện xác định suy ra tập nghiệm của bất phương trình là $S=(-4;0]\cup [4;+\infty ).$

Ví dụ 6. Giải các bất phương trình sau:
a) $\left| 2x+1 \right|<3x.$
b) $\left| \left| 2x-1 \right|-4 \right|>3.$
c) $\left| x+1 \right|-\left| x-2 \right|\ge 3.$

a)
+ Với $x\ge -\frac{1}{2}$ ta có bất phương trình tương đương với $2x+1<3x$ $\Leftrightarrow x>1.$ Kết hợp với điều kiện $x\ge -\frac{1}{2}$ suy ra bất phương trình có tập nghiệm là $\left( 1;+\infty \right).$
+ Với $x<-\frac{1}{2}$ ta có bất phương trình tương đương với $-2x-1<3x$ $\Leftrightarrow x>-\frac{1}{5}.$ Kết hợp với điều kiện $x<-\frac{1}{2}$ suy ra bất phương trình vô nghiệm.
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $S=\left( 1;+\infty \right).$
b) Ta có $\left| \left| 2x-1 \right|-4 \right|>3$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} \left| 2x-1 \right|-4>3 \\ \left| 2x-1 \right|-4<-3 \\ \end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} \left| 2x-1 \right|>7 \\ \left| 2x-1 \right|<1 \\ \end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} \begin{align} & 2x-1>7 \\ & 2x-1<-7 \\ \end{align} \\ -1<2x-1<1 \\ \end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} \begin{align} & x>4 \\ & x<-3 \\ \end{align} \\ 0<x<1 \\ \end{matrix} \right.$
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $S=\left( -\infty ;-3 \right)\cup \left( 0;1 \right)\cup \left( 4;+\infty \right).$
c) Bảng xét dấu:

Từ bảng xét dấu đó ta chia ra các trường hợp sau:
+ Với $x<-1$ ta có bất phương trình tương đương với $-\left( x+1 \right)+\left( x-2 \right)\ge 3$ $\Leftrightarrow -3\ge 3$ (vô nghiệm).
+ Với $-1\le x<2$ ta có bất phương trình tương đương với $\left( x+1 \right)+\left( x-2 \right)\ge 3$ $\Leftrightarrow x\ge 2.$ Kết hợp với điều kiện $-1\le x<2$ suy ra bất phương trình vô nghiệm.
+ Với $x\ge 2$ ta có bất phương trình tương đương với $\left( x+1 \right)-\left( x-2 \right)\ge 3$ $\Leftrightarrow 3\ge 3.$ Kết hợp với điều kiện $x\ge 2$ suy ra bất phương trình có nghiệm là $x\ge 2.$
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $S=[2;+\infty ).$

Ví dụ 7. Giải các bất phương trình sau:
a) $\frac{\left| x-2 \right|-x}{x}<1.$
b) $\frac{\left| x-1 \right|-1}{{{x}^{4}}-{{x}^{2}}}\ge 0.$

a)
+ Với $x\ge 2$ ta có bất phương trình tương đương với $\frac{x-2-x}{x}<1$ $\Leftrightarrow \frac{-2}{x}<1$ $\Leftrightarrow x>-2.$ Kết hợp điều kiện $x\ge 2$ suy ra tập nghiệm bất phương trình là ${{S}_{1}}=[2;+\infty ).$
+ Với $x<2$ ta có bất phương trình tương đương với $\frac{2-x-x}{x}<1$ $\Leftrightarrow \frac{2-2x}{x}<1$ $\Leftrightarrow 1-\frac{2-2x}{x}>0$ $\Leftrightarrow \frac{3x-2}{x}>0.$
Bảng xét dấu:

Kết hợp điều kiện $x<2$ suy ra tập nghiệm bất phương trình là ${{S}_{2}}=(-\infty ;0)\cup (\frac{2}{3};2).$
Vậy tập nghiệm bất phương trình là $\text{S}={{S}_{1}}\cup {{S}_{2}}=(-\infty ;0)\cup (\frac{2}{3};+\infty ).$
b) Điều kiện xác định: ${{x}^{4}}-{{x}^{2}}\ne 0$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x\ne 0 \\ x\ne \pm 1 \\ \end{matrix} \right.$
Ta có $\frac{\left| x-1 \right|-1}{{{x}^{4}}-{{x}^{2}}}\ge 0$ $\Leftrightarrow \frac{\left( \left| x-1 \right|+1 \right)\left( \left| x-1 \right|-1 \right)}{{{x}^{4}}-{{x}^{2}}}\ge 0$ $\Leftrightarrow \frac{{{\left| x-1 \right|}^{2}}-1}{{{x}^{4}}-{{x}^{2}}}\ge 0$ $\Leftrightarrow \frac{{{x^2} - 2x}}{{{x^4} - {x^2}}} \ge 0$ $\Leftrightarrow \frac{{x\left( {x - 2} \right)}}{{{x^2}\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} \ge 0$ $\Leftrightarrow \frac{{x - 2}}{{x\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} \ge 0.$
Bảng xét dấu:

Vậy tập nghiệm bất phương trình là: $S = \left( { - \infty ; - 1} \right) \cup \left( {0;1} \right) \cup \left[ {2; + \infty } \right).$