Đề chọn đội tuyển HSG Toán THPT năm 2021 sở GD&ĐT Khánh Hòa (Vòng 1)

Thứ Tư ngày 23 tháng 09 năm 2020, sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Khánh Hòa tổ chức kỳ thi chọn đội tuyển thi học sinh giỏi THPT cấp Quốc gia năm 2021 môn Toán (vòng 1).

Đề chọn đội tuyển HSG Toán THPT năm 2021 sở GD&ĐT Khánh Hòa (Vòng 1) được biên soạn theo dạng đề thi tự luận, đề gồm 01 trang với 05 bài toán, thời gian học sinh làm bài thi là 180 phút (không kể thời gian phát đề).

Trích dẫn đề chọn đội tuyển HSG Toán THPT năm 2021 sở GD&ĐT Khánh Hòa (Vòng 1):
+ Cho tam giác nhọn không cân ABC có trực tâm H và nội tiếp đường tròn (O). Gọi E, F lần lượt là chân đường cao hạ từ B, C của tam giác ABC. M là giao điểm của đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF với đường tròn (O) (M không trùng A). Đường thẳng BH cắt đường tròn (O) tại D (D không trùng B). I là trung điểm BC.
a) Chứng minh rằng ba đường thẳng AM, EF, BC đồng quy tại một điểm.
b) Đường tròn ngoại tiếp tam giác HEI cắt BC tại N (N không trùng I). Đường  thẳng EN cắt đường thẳng qua H và song song với BC tại K. Chứng minh rằng bốn điểm M, H, K, D cùng thuộc một đường tròn.
+ Cho n là một số nguyên dương, xét tập hợp S = {1,2,3,…,n}. Gọi p, q lần lượt là số tập con khác rỗng của S và có số phần tử là chẵn, lẻ. Chứng minh rằng p – q =  -1.
+ Cho m, n là các số nguyên dương và một bảng hình chữ nhật kẻ ô vuông cóm hàng và n cột (nghĩa là bảng gồm m x n ô vuông). Xét các tập hợp T khác  rỗng gồm một số các ô vuông thuộc bảng trên sao cho mỗi hàng và mỗi cột của bảng đều có chứa ít nhất một ô vuông của T. Gọi p là số các tập hợp T có số phần tử là số chẵn và q là số các tập hợp T có số phần tử là số lẻ. Chứng minh rằng p – q =  (-1)m+n+1.