Đề chọn đội tuyển thi HSG Toán Quốc gia năm 2020 – 2021 sở GD&ĐT Ninh Bình

Đề chọn đội tuyển thi HSG Toán Quốc gia năm 2020 – 2021 sở GD&ĐT Ninh Bình gồm 01 trang với 05 bài toán tự luận, thời gian làm bài 180 phút; kỳ thi diễn ra vào ngày 28 tháng 10 năm 2020.

Trích dẫn đề chọn đội tuyển thi HSG Toán Quốc gia năm 2020 – 2021 sở GD&ĐT Ninh Bình:
+ Tìm tất cả các cặp số nguyên tố (p;q) sao cho p^2 + 3pq + q^2 là một số chính phương.
+ Cho đường tròn (O;R) tiếp xúc với đường thẳng d tại điểm T cho trước. Một điểm M di động trên (O), tiếp tuyến của (O) tại M cắt d tại P. Gọi (C) là đường tròn tâm J đi qua M và tiếp xúc với d tại P và I là điểm đối xứng với P qua J.
1. Chứng minh OI = IP và (C) tiếp xúc với một đường tròn cố định.
2. Tìm quỹ tích tâm J của đường tròn (C) khi M di động trên (O).
+ Trong mặt phẳng cho n điểm phân biệt và m đường thẳng phân biệt. Gọi k là số bộ (A;a) sao cho A thuộc a với A là một trong các điểm đã cho và a là một trong các đường thẳng đã cho.
1. Tìm giá trị lớn nhất của k với n = 6 và m = 5.
2. Với n = 66 và m = 16, chứng minh k =< 159.