Đề chọn HSG Toán 10 lần 1 năm 2025 – 2026 trường THPT chuyên KHTN – Hà Nội

khodethi.com giới thiệu đến quý thầy, cô giáo và các em học sinh đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán 10 lần 1 năm học 2025 – 2026 trường THPT chuyên KHTN, thành phố Hà Nội. Kỳ thi được diễn ra vào ngày 07 tháng 08 năm 2025. Đề thi có đáp án và lời giải chi tiết.

Trích dẫn Đề chọn HSG Toán 10 lần 1 năm 2025 – 2026 trường THPT chuyên KHTN – Hà Nội:
+ Cho p là số nguyên tố lẻ. Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho 1^3 + 2^3 + … + (p – 1)^3 + p^n là số chính phương.
+ Tìm số nguyên dương lớn nhất k sao cho với mười điểm trong một mặt phẳng có tính chất: năm điểm bất kỳ trong mười điểm này đều chứa ít nhất bốn điểm cùng nằm trên một đường tròn, thì tồn tại k điểm trong mười điểm trên cùng nằm trên một đường tròn.
+ Giả sử có điểm K, L lần lượt nằm trên các cạnh BC, CA của tam giác ABC sao cho AL = BK. Giả sử các đoạn thẳng AK và BL cắt nhau tại điểm P. 1) Gọi giao điểm khác P của đường tròn ngoại tiếp hai tam giác APL và BPK là T. Chứng minh rằng CT là phân giác AСВ. 2) Gọi I và J lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp các tam giác APL và BPK. Gọi giao điểm của CT và IJ là Q. Chứng minh rằng IP = JQ.