Đề HSG tỉnh Toán 10 (chuyên) năm 2024 – 2025 đợt 2 sở GD&ĐT Quảng Nam

khodethi.com giới thiệu đến quý thầy, cô giáo và các em học sinh lớp 10 đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh THPT môn Toán 10 (chuyên) năm học 2024 – 2025 đợt 2 sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Quảng Nam. Kỳ thi được diễn ra vào ngày 07 tháng 03 năm 2025.

Trích dẫn Đề HSG tỉnh Toán 10 (chuyên) năm 2024 – 2025 đợt 2 sở GD&ĐT Quảng Nam:
+ Tìm tất cả các số nguyên dương m và n thỏa mãn 2m + n2 chia hết cho m2 – n và 2n + m2 chia hết cho n2 – m.
+ Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC) nội tiếp trong đường tròn tâm O; hai điểm B, C cố định và điểm A thay đổi trên cung lớn BC của đường tròn (O). Gọi H là trực tâm của tam giác ABC, A’ là điểm đối xứng với A qua BC, B’ là điểm đối xứng với B qua AC. Hai đường thẳng AO và B’C cắt nhau tại E; hai đường thẳng A’O và BC cắt nhau tại F. a) Chứng minh hai tam giác AHB, ACE đồng dạng và bốn điểm B, O, C, E cùng thuộc một đường tròn. b) Chứng minh đường thẳng AF đi qua điểm cố định khi A thay đổi.
+ Lớp 10A có 32 học sinh, phân công 4 học sinh tham gia mỗi buổi trực nhật. Biết rằng trong một năm học, hai học sinh bất kỳ của lớp 10A trực nhật chung với nhau đúng 3 buổi. Tính số buổi trực nhật của lớp 10A trong năm học đó.