Đề thi lập đội tuyển HSG Toán THPT năm 2020 – 2021 sở GD&ĐT Đắk Lắk (ngày 2)

Thứ Tư ngày 23 tháng 09 năm 2020, sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Đắk Lắk tổ chức kỳ thi thành lập các đội tuyển dự thi chọn học sinh giỏi Quốc gia THPT năm học 2020 – 2021 môn Toán (ngày thi thứ hai).

Đề thi lập đội tuyển HSG Toán THPT năm 2020 – 2021 sở GD&ĐT Đắk Lắk (ngày 2) gồm 01 trang với 04 bài toán, thời gian làm bài 180 phút.

Trích dẫn đề thi lập đội tuyển HSG Toán THPT năm 2020 – 2021 sở GD&ĐT Đắk Lắk (ngày 2):
+ Tìm số nguyên dương n nhỏ nhất sao cho tồn tại các số nguyên a1, a2 … an để đa thức fn(x) = x^2n+2 – 2(a1 + a2 + … + an)^2.x^n+1 + (a1^4 + a2^4 + … + an^4 + 1) có ít nhất một nghiệm nguyên.
+ Cho a, b là hai số nguyên dương sao cho (a + b^3)/(a^2 + 3ab + 3b^2 – 1) là một số nguyên. Chứng minh rằng a^2 + 3ab + 3b^2 – 1 chia hết cho lập phương của một số nguyên lớn hơn 1.
+ Cho tam giác ABC, đường tròn (O) cắt cạnh BC tại hai điểm D, E (D nằm giữa B và E), cắt cạnh CA tại hai điểm F, G (F nằm giữa C và G) và cắt cạnh AB tại hai điểm H, I (H nằm giữa A và I). Gọi M là giao điểm của DF và EI, N là giao điểm của EG và FH, P là giao điểm của GI và HD. Chứng minh rằng các đường thẳng AM, BN và CP đồng quy tại một điểm.