Giải bài tập SGK Hình học 12 cơ bản: Khái niệm về khối đa diện

Bài viết hướng dẫn giải các bài tập trong phần câu hỏi và bài tập và phần luyện tập của sách giáo khoa Hình học 12 cơ bản: Khái niệm về khối đa diện.

CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP

Bài 1. Chứng minh rằng một đa diện có các mặt là những tam giác thì tổng số các mặt của nó phải là một số chẵn. Cho ví dụ.

Lời giải:
Gọi số các mặt của đa diện là $n$ ($n \in Z$, $n \ge 4$). Vì mỗi mặt của khối đa diện có ba cạnh và mỗi cạnh chỉ là cạnh chung của đúng hai mặt nên số cạnh của nó sẽ là: $\frac{{3n}}{2}.$
Vì số cạnh phải là số tự nhiên, nên ta có $3n$ chia hết cho $2$, từ đây ta suy ra $n$ chia hết cho $2.$
Ví dụ. Hình chóp tam giác (tứ diện).

Bài 2. Chứng minh rằng một đa diện mà mỗi đỉnh của nó đều là đỉnh chung của một số lẻ mặt thì tổng số các đỉnh của nó phải là một số chẵn. Cho ví dụ.

Lời giải:
Giả sử tổng số đỉnh của khối đa diện là $n$ (${n \ge 4}$, ${n \in {N^*}}$) và các đỉnh là: ${A_1}$, ${A_2}$, ${A_3}$ … ${A_n}.$ Gọi số mặt của đa diện chứa đỉnh ${A_i}$ là $2{m_i} + 1$ $\Rightarrow$ số cạnh ${A_i}$ là $2{m_i} + 1.$ Vì mỗi cạnh là cạnh chung của đúng hai mặt nên số cạnh của khối đa diện là:
$c = \frac{{2{m_1} + 1 + 2{m_2} + 1 + \ldots + 2{m_u} + 1}}{2}$ $(i = \overline {1,n} ;m \in {N^*}).$
$= \frac{{2\left( {{m_1} + {m_2} + \ldots + {m_n}} \right) + n}}{2}$ $= {m_1} + {m_2} + \ldots + {m_n} + \frac{n}{2}.$
Vì $c$ nguyên nên $\frac{n}{2}$ nguyên hay $n$ là số chẵn.
Ví dụ: khối chóp tam giác thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Bài 3. Chia một khối lập phương thành năm khối tứ diện.

Lời giải:

Ta có khối lập phương:

Ta chia khối lập phương thành năm khối tứ diện sau:
$A’ABD$; $C’BCD$; $BA’B’C’$; $DA’C’D’$; $BDA’C’.$

Bài 4. Chia khối lập phương thành sáu khối tứ diện bằng nhau.

Lời giải:
Ta chia khối lập phương thành sáu khối tứ diện bằng nhau sau đây:
$BB’A’C’$; $A’ACB$; $BCA’C’$; $CA’D’C’$; $DACD’$; $AD’A’C.$