Hệ phương trình đối xứng loại 2

Bài viết hướng dẫn nhận dạng và cách giải hệ phương trình đối xứng loại 2 cùng các bài toán có liên quan đến hệ phương trình đối xứng loại 2.

I. LÝ THUYẾT CẦN NẮM

1. Định nghĩa: Hệ phương trình đối xứng loại 2 là hệ phương trình có dạng: $\left\{ \begin{array}{l} f\left( {x;y} \right) = a\\ f\left( {y;x} \right) = a \end{array} \right.$ $(*).$
2. Cách giải hệ phương trình đối xứng loại 2:

Trừ hai phương trình của hệ cho nhau ta được: $f\left( {x;y} \right) - f\left( {y;x} \right) = 0$ $\Leftrightarrow \left( {x - y} \right)g\left( {x;y} \right) = 0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = y\\ g\left( {x;y} \right) = 0 \end{array} \right.$

3. Chú ý:

• Nếu hệ phương trình $(*)$ có nghiệm $\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right)$ thì $\left( {{y}_{0}};{{x}_{0}} \right)$ cũng là nghiệm của hệ phương trình $(*)$. Từ đó suy ra, nếu hệ phương trình $(*)$ có nghiệm duy nhất thì điều kiện cần là ${{x}_{0}}={{y}_{0}}.$
• $f\left( {x;y} \right) + f\left( {y;x} \right) = 2a$ là một phương trình đối xứng.

II. VÍ DỤ MINH HỌA

Ví dụ 1. Giải các hệ phương trình sau:

1. $\left\{ \begin{array}{l} {x^2} = 3x + 2y\\ {y^2} = 3y + 2x \end{array} \right.$
2. $\left\{ \begin{array}{l} {x^3} + 1 = 2y\\ {y^3} + 1 = 2x \end{array} \right.$

1. Trừ vế với vế hai phương trình của hệ, ta được:

${x^2} - {y^2} = x - y$ $\Leftrightarrow \left( {x - y} \right)\left( {x + y - 1} \right) = 0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = y\\ x = 1 - y \end{array} \right.$

• Với $x = y \Rightarrow {x^2} = 3x$ $\Leftrightarrow x = 0,x = 3.$
• Với $x = 1 - y$ $\Rightarrow {y^2} = 3y + 2\left( {1 - y} \right)$ $\Leftrightarrow {y^2} - y - 2 = 0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} y = - 1 \Rightarrow x = 2\\ y = 2 \Rightarrow x = - 1 \end{array} \right.$

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm: $\left( {x;y} \right) = \left( {0;0} \right),\left( {3;3} \right)$, $\left( { - 1;2} \right),\left( {2; - 1} \right).$

2. Trừ hai phương trình của hệ, ta được:

${x^3} - {y^3} = 2\left( {y - x} \right)$ $\Leftrightarrow \left( {x - y} \right)\left( {{x^2} + xy + {y^2} + 2} \right) = 0$ $\Leftrightarrow x = y$ (do ${x^2} + xy + {y^2} + 2 > 0$, $\forall x,y$).

Thay vào hệ phương trình, ta được:

${x^3} + 1 = 2x$ $\Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x - 1} \right) = 0$ $\Leftrightarrow x = 1$, $x = \frac{{ - 1 \pm \sqrt 5 }}{2}.$

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm: $\left[ \begin{array}{l} x = y = 1\\ x = y = \frac{{ - 1 \pm \sqrt 5 }}{2} \end{array} \right.$

Ví dụ 2. Giải các hệ phương trình sau:

1. $\left\{ \begin{array}{l} \frac{3}{{{x^2}}} = 2x + y\\ \frac{3}{{{y^2}}} = 2y + x \end{array} \right.$
2. $\left\{ \begin{array}{l} \sqrt {x + 9} + \sqrt {y - 7} = 8\\ \sqrt {y + 9} + \sqrt {x - 7} = 8 \end{array} \right.$

1. Điều kiện: $x,y \ne 0.$

Hệ phương trình $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 2{x^3} + {x^2}y = 3\\ 2{y^3} + {y^2}x = 3 \end{array} \right.$ $\Rightarrow 2\left( {{x^3} - {y^3}} \right) + xy\left( {x - y} \right) = 0$ $\Leftrightarrow \left( {x - y} \right)\left( {2{x^2} + 3xy + 2{y^2}} \right) = 0$ $\Leftrightarrow x = y$ (do $2{x^2} + 3xy + 2{y^2}$ $= 2{\left( {x + \frac{3}{4}y} \right)^2} + \frac{7}{8}{y^2} > 0$).

Thay vào hệ phương trình, ta được: $3{x^3} = 3$ $\Leftrightarrow x = 1 = y.$

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm $x=y=1.$

2. Điều kiện: $x,y \ge 7.$

Trừ hai phương trình của hệ, ta được:

$\sqrt {x + 9} + \sqrt {y - 7}$ $= \sqrt {y + 9} + \sqrt {x - 7}$ $\Leftrightarrow \sqrt {\left( {x + 9} \right)\left( {y - 7} \right)}$ $= \sqrt {\left( {y + 9} \right)\left( {x - 7} \right)}$ $\Leftrightarrow x = y.$

Thay vào hệ phương trình, ta được:

$\sqrt {x + 9} + \sqrt {x - 7} = 8$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \sqrt {x + 9} + \sqrt {x - 7} = 8\\ \sqrt {x + 9} - \sqrt {x - 7} = 2 \end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \sqrt {x + 9} = 5\\ \sqrt {x - 7} = 3 \end{array} \right.$ $\Leftrightarrow x = 16.$

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm: $x=y=16.$

Ví dụ 3. Giải các hệ phương trình sau:

1. $\left\{ \begin{array}{l} \sqrt x + \sqrt {2 - y} = 2\\ \sqrt y + \sqrt {2 - x} = 2 \end{array} \right.$
2. $\left\{ \begin{array}{l} \sqrt {5x + 1} + \sqrt {12 - y} = 7\\ \sqrt {5y + 1} + \sqrt {12 - x} = 7 \end{array} \right.$

1. Điều kiện: $0 \le x,y \le 2.$

Trừ hai phương trình của hệ, ta được:

$\sqrt x - \sqrt {2 - x}$ $= \sqrt y - \sqrt {2 - y}$ $\left( * \right).$

Do hàm số $f\left( t \right) = \sqrt t + \sqrt {2 - t}$ là một hàm liên tục và đồng biến trên $(0;2).$

Nên $\left( * \right) \Leftrightarrow f(x) = f(y)$ $\Leftrightarrow x = y.$

Thay vào hệ phương trình, ta có:

$\sqrt x + \sqrt {2 - x} = 2$ $\Leftrightarrow \sqrt {x\left( {2 - x} \right)} = 1$ $\Leftrightarrow x = 1.$

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm: $x=y=1.$

2. Điều kiện: $\left\{ \begin{array}{l} - \frac{1}{5} \le x \le 12\\ - \frac{1}{5} \le y \le 12 \end{array} \right.$

Trừ hai phương trình của hệ, ta được:

$\sqrt {5x + 1} - \sqrt {12 - x}$ $= \sqrt {5y + 1} - \sqrt {12 - y}$ $(*).$

Xét hàm số: $f\left( t \right) = \sqrt {5t + 1} - \sqrt {12 - t}$, $t \in \left[ { - \frac{1}{5};12} \right]$, ta có:

$f’\left( x \right) = \frac{5}{{2\sqrt {5t + 1} }} + \frac{1}{{2\sqrt {12 - t} }} > 0$, $\forall t \in \left( { - \frac{1}{5};12} \right).$

Suy ra: $\left( * \right) \Leftrightarrow f\left( x \right) = f\left( y \right)$ $\Leftrightarrow x = y.$

Thay $x=y$ vào hệ phương trình, ta được:

$\sqrt {5x + 1} + \sqrt {12 - x} = 7$ $\Leftrightarrow 4x + 13$ $+ 2\sqrt {\left( {5x + 1} \right)\left( {12 - x} \right)} = 49$ $\Leftrightarrow \sqrt { - 5{x^2} + 59x + 12} = 18 - 2x$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x \le 9\\ 9{x^2} - 131x + 312 = 0 \end{array} \right.$ $\Leftrightarrow x = 3.$

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm $x=y=3.$

Ví dụ 4. Giải các hệ phương trình sau:

1. $\left\{ \begin{array}{l} {x^3} = 2x + y\\ {y^3} = 2y + x \end{array} \right.$
2. $\left\{ \begin{array}{l} \left( {x - 1} \right)\left( {{y^2} + 6} \right) = y\left( {{x^2} + 1} \right)\\ \left( {y - 1} \right)\left( {{x^2} + 6} \right) = x\left( {{y^2} + 1} \right) \end{array} \right.$

1. Trừ hai phương trình của hệ, ta được:

${x^3} - {y^3} = x - y$ $\Leftrightarrow \left( {x - y} \right)\left( {{x^2} + xy + {y^2} - 1} \right) = 0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = y\\ {x^2} + xy + {y^2} - 1 = 0 \end{array} \right.$

• Với $x=y$, thay vào hệ phương trình, ta được: ${x^3} = 3x$ $\Leftrightarrow x = 0$, $x = \pm \sqrt 3 .$
• Với ${x^2} + xy + {y^2} = 1$ $\left( 1 \right)$, cộng hai phương trình của hệ phương trình, ta có: ${x^3} + {y^3} - 3\left( {x + y} \right) = 0$ $\left( 2 \right).$

Từ $(1)$ và $(2)$, ta có hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l} {x^2} + xy + {y^2} - 1 = 0\\ {x^3} + {y^3} - 3\left( {x + y} \right) = 0 \end{array} \right.$

Đặt $S=x+y$, $P=xy$, ta có: $\left\{ \begin{array}{l} {S^2} - P - 1 = 0\\ {S^3} - 3SP - 3S = 0 \end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} P = {S^2} - 1\\ {S^3} - 3S\left( {{S^2} - 1} \right) - 3S = 0 \end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} S = 0\\ P = - 1 \end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = 1\\ y = - 1 \end{array} \right.$ hoặc $\left\{ \begin{array}{l} x = - 1\\ y = 1 \end{array} \right.$

Vậy hệ phương trình đã cho có các nghiệm: $\left\{ \begin{array}{l} x = 0\\ y = 0 \end{array} \right.$, $\left\{ \begin{array}{l} x = - 1\\ y = 1 \end{array} \right.$, $\left\{ \begin{array}{l} x = 1\\ y = - 1 \end{array} \right.$, $\left\{ \begin{array}{l} x = \sqrt 3 \\ y = \sqrt 3 \end{array} \right.$, $\left\{ \begin{array}{l} x = - \sqrt 3 \\ y = - \sqrt 3 \end{array} \right.$

2. Hệ phương trình $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x{y^2} + 6x - {y^2} - 6 = y{x^2} + y\\ y{x^2} + 6y - {x^2} - 6 = x{y^2} + x \end{array} \right.$

Trừ vế theo vế hai phương trình của hệ, ta được:

$2xy\left( {y - x} \right) + 7\left( {x - y} \right)$ $+ \left( {x - y} \right)\left( {x + y} \right) = 0$ $\Leftrightarrow \left( {x - y} \right)\left( {x + y - 2xy + 7} \right) = 0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = y\\ x + y - 2xy + 7 = 0 \end{array} \right.$

• Với $x=y$, thay vào hệ phương trình, ta được: ${x^2} - 5x + 6 = 0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = y = 2\\ x = y = 3 \end{array} \right.$
• Với $x+y-2xy+7=0$ $(1)$, cộng hai phương trình của hệ đã cho, ta được: ${x^2} + {y^2} - 5x - 5y + 12 = 0$ $\left( 2 \right).$

Từ $(1)$ và $(2)$ ta có hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l} x + y - 2xy + 7 = 0\\ {x^2} + {y^2} - 5x - 5y + 12 = 0 \end{array} \right.$

Đặt $S=x+y$, $P=xy$, ta có hệ phương trình:

$\left\{ \begin{array}{l} S - 2P + 7 = 0\\ {S^2} - 5S - 2P + 12 = 0 \end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} P = \frac{{S + 7}}{2}\\ {S^2} - 6S + 5 = 0 \end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} S = 1\\ P = 4 \end{array} \right.$ hoặc $\left\{ \begin{array}{l} S = 5\\ P = 6 \end{array} \right.$

• Với $\left\{ \begin{array}{l} S = 1\\ P = 4 \end{array} \right.$, ta thấy hệ vô nghiệm.
• Với $\left\{ \begin{array}{l} S = 5\\ P = 6 \end{array} \right.$, ta có: $\left\{ \begin{array}{l} x = 2\\ y = 3 \end{array} \right.$ hoặc $\left\{ \begin{array}{l} x = 3\\ y = 2 \end{array} \right.$

Vậy nghiệm của hệ phương trình đã cho là: $\left( {x;y} \right) = \left( {2;2} \right),\left( {3;3} \right)$, $\left( {2;3} \right),\left( {3;2} \right).$

Ví dụ 5. Tìm $m$ để hệ phương trình sau có nghiệm: $\left\{ \begin{array}{l} 2x + \sqrt {y - 1} = m\\ 2y + \sqrt {x - 1} = m \end{array} \right.$

Điều kiện: $x,y \ge 1$. Đặt $a = \sqrt {x - 1}$, $b = \sqrt {y - 1}$ $\Rightarrow a,b \ge 0$, ta có:

$\left\{ \begin{array}{l} 2{a^2} + b = m - 2\\ 2{b^2} + a = m - 2 \end{array} \right.$ $\Rightarrow 2\left( {a - b} \right)\left( {a + b} \right)$ $+ b - a = 0$ $\Leftrightarrow \left( {a - b} \right)\left( {2a + 2b - 1} \right) = 0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} a = b\\ a = \frac{{1 - 2b}}{2} \end{array} \right.$

• Với $a = b$ $\Rightarrow 2{a^2} + a = m - 2$ $\Rightarrow$ Phương trình có nghiệm $a \ge 0$ $\Leftrightarrow m - 2 \ge 0$ $\Leftrightarrow m \ge 2.$
• Với $a = \frac{{1 - 2b}}{2}$ $\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} 0 \le b \le \frac{1}{2}\\ 4{b^2} - 2b = 2m - 5 \end{array} \right.$, hệ phương trình có nghiệm $\Leftrightarrow - \frac{1}{4} \le 2m - 5 \le 0$ $\Leftrightarrow \frac{{19}}{8} \le m \le \frac{5}{2}.$

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi $m \ge 2.$

Ví dụ 6. Tìm $m$ để các hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất:

1. $\left\{ \begin{array}{l} x = {y^2} - y + m\\ y = {x^2} - x + m \end{array} \right.$
2. $\left\{ \begin{array}{l} 3{x^2} = {y^3} - 2{y^2} + my\\ 3{y^2} = {x^3} - 2{x^2} + mx \end{array} \right.$

1. Điều kiện cần: Giả sử hệ có nghiệm $\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right)$ thì $\left( {{y}_{0}};{{x}_{0}} \right)$ cũng là nghiệm của hệ nên để hệ có nghiệm duy nhất thì trước hết ${{x}_{0}}={{y}_{0}}.$

Thay vào hệ ta được: $x_0^2 - 2{x_0} + m = 0$, phương trình này có nghiệm duy nhất $\Leftrightarrow \Delta’ = 1 - m = 0$ $\Leftrightarrow m = 1.$

Điều kiện đủ: Với $m = 1$ hệ trở thành:

$\left\{ \begin{array}{l} x = {y^2} - y + 1\\ y = {x^2} - x + 1 \end{array} \right.$ $\Rightarrow {x^2} + {y^2} - 2x - 2y + 2 = 0$ $\Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 0$ $\Leftrightarrow x = y = 1$ (thử lại ta thấy thỏa mãn hệ).

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi $m = 1.$

2. Điều kiện cần: Giả sử hệ có nghiệm $\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right)$ thì $\left( {{y}_{0}};{{x}_{0}} \right)$ cũng là nghiệm của hệ nên để hệ có nghiệm duy nhất thì trước hết ${{x}_{0}}={{y}_{0}}.$

Thay vào hệ ta được: $x_0^3 - 5x_0^2 + m{x_0} = 0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} {x_0} = 0\\ x_0^2 - 5{x_0} + m = 0\left( * \right) \end{array} \right.$

Để hệ phương trình có nghiệm duy nhất thì $(*)$ phải vô nghiệm hoặc có nghiệm kép $x = 0.$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \Delta = 25 - 4m < 0\\ \left\{ \begin{array}{l} \Delta = 25 - 4m = 0\\ 5 = 0 \end{array} \right. \end{array} \right.$ $\Leftrightarrow m > \frac{{25}}{4}.$

Điều kiện đủ: Với $m > \frac{{25}}{4}$, ta có:

$\left[ \begin{array}{l} 3{x^2} = y\left( {{y^2} - 2y + m} \right) = y\left[ {{{\left( {y - 1} \right)}^2} + m - 1} \right]\\ 3{y^2} = x\left( {{x^2} - 2x + m} \right) = x\left[ {{{\left( {x - 1} \right)}^2} + m - 1} \right] \end{array} \right.$ $\Rightarrow x,y \ge 0.$

Cộng hai phương trình của hệ với nhau, ta được:

$x\left( {{x^2} - 5x + m} \right)$ $+ y\left( {{y^2} - 5y + m} \right) = 0$ $\Leftrightarrow x\left[ {{{\left( {x - \frac{5}{2}} \right)}^2} + m - \frac{{25}}{4}} \right]$ $+ y\left[ {{{\left( {y - \frac{5}{2}} \right)}^2} + m - \frac{{25}}{4}} \right] = 0$ $\Leftrightarrow x = y = 0.$

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi $m > \frac{{25}}{4}.$

Ví dụ 7. Chứng minh rằng hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l} 2{x^2} = y + \frac{{{a^2}}}{y}\\ 2{y^2} = x + \frac{{{a^2}}}{x} \end{array} \right.$ có nghiệm duy nhất với mọi $a \ne 0.$

Điều kiện: $x \ne 0.$

Từ hai phương trình của hệ $\Rightarrow x,y > 0.$

Hệ phương trình $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 2{x^2}y = {y^2} + {a^2}\\ 2{y^2}x = {x^2} + {a^2} \end{array} \right.$ $\Rightarrow 2xy\left( {x - y} \right) = {y^2} - {x^2}$ $\Leftrightarrow \left( {x - y} \right)\left( {2xy + x + y} \right) = 0$ $\Leftrightarrow x = y$ (do $x,y > 0$ $\Rightarrow 2xy + x + y > 0$).

Thay vào hệ phương trình, ta được: ${a^2} = 2{x^3} - {x^2} = f\left( x \right)$ $(*).$

Xét hàm số: $f\left( x \right) = 2{x^3} - {x^2}$ với $x>0.$

Ta có: $f’\left( x \right) = 2x\left( {3x - 1} \right)$ $\Rightarrow f’\left( x \right) = 0$ $\Leftrightarrow x = \frac{1}{3}.$

Mà $f\left( 0 \right) = 0$, $f\left( {\frac{1}{3}} \right) = - \frac{1}{{27}}$ và ${a^2} > 0$ nên phương trình $(*)$ chỉ có duy nhất một nghiệm.

Vậy hệ đã cho luôn có nghiệm duy nhất với mọi $a \ne 0.$