Hướng dẫn tính tích phân hàm chứa giá trị tuyệt đối

Bài viết hướng dẫn phương pháp tính tích phân hàm chứa giá trị tuyệt đối, đây là dạng toán thường gặp trong chương trình Giải tích 12 chương 3.

1. Phương pháp tính tích phân hàm chứa giá trị tuyệt đối
Muốn tính tích phân $I = \int_a^b | f(x)|dx$, ta thức hiện theo các bước sau:
+ Xét dấu hàm $f(x)$ trên đoạn $[a;b]$ để mở dấu giá trị tuyệt đối.
+ Áp dụng công thức: $\int_a^b | f(x)|dx$ $= \int_a^c | f(x)|dx + \int_c^b | f(x)|dx.$
2. Một số ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tính tích phân: $I = \int_{ - 3}^3 {\left| {{x^2} - 1} \right|} dx.$

Ta có: $I = \int_{ - 3}^3 {\left| {{x^2} - 1} \right|} dx$ $= \int_{ - 3}^{ - 1} {\left( {{x^2} - 1} \right)} dx$ $+ \int_{ - 1}^1 {\left( { - {x^2} + 1} \right)} dx$ $+ \int_1^3 {\left( {{x^2} - 1} \right)} dx$ $= \left. {\left( {\frac{{{x^3}}}{3} - x} \right)} \right|_{ - 3}^{ - 1}$ $+ \left. {\left( { - \frac{{{x^3}}}{3} + x} \right)} \right|_{ - 1}^1$ $+ \left. {\left( {\frac{{{x^3}}}{3} - x} \right)} \right|_1^3$ $= - \frac{1}{3} + 1 + 9 - 3 - \frac{1}{3} + 1$ $- \frac{1}{3} + 1 + 9 - 3 - \frac{1}{3} + 1$ $= \frac{{44}}{3}.$
Vậy $I = \int_{ - 3}^3 {\left| {{x^2} - 1} \right|} dx = \frac{{44}}{3}.$

Ví dụ 2: Tính tích phân: $I = \int_0^2 {\left| {{x^2} - 4x + 3} \right|} dx.$

Ta có bảng xét dấu:

Nên $I = \int_0^2 {\left| {{x^2} - 4x + 3} \right|} dx$ $= \int_0^1 {\left( {{x^2} - 4x + 3} \right)} dx$ $+ \int_1^2 {\left( { - {x^2} + 4x - 3} \right)} dx$ $= \left. {\left( {\frac{{{x^3}}}{3} - 2{x^2} + 3x} \right)} \right|_0^1$ $+ \left. {\left( { - \frac{{{x^3}}}{3} + 2{x^2} - 3x} \right)} \right|_1^2 = 2.$
Vậy $I = \int_0^2 {\left| {{x^2} - 4x + 3} \right|} dx = 2.$

Ví dụ 3: Tính tích phân: ${I_{(m)}} = \int_0^1 {\left| {{x^2} - 2x + m} \right|} dx.$

Đặt $f(x) = {x^2} - 2x + m$ có $\Delta’ = 1 - m.$
+ Khi $m \ge 1$ $\Leftrightarrow \Delta’ = 1 - m \le 0$ $\Rightarrow f(x) \ge 0$ $\forall x \in R.$
Do đó ${I_{(m)}} = \int_0^1 {\left| {{x^2} - 2x + m} \right|} dx$ $= \int_0^1 {\left( {{x^2} - 2x + m} \right)} dx$ $= \left. {\left( {\frac{{{x^3}}}{3} - {x^2} + mx} \right)} \right|_0^1$ $= m - \frac{2}{3}.$
+ Khi $0 < m < 1$ thì $\left\{ {\begin{array}{l} {\Delta’ = 1 - m > 0}\\ {f(0) = m > 0}\\ {f(1) = m - 1 < 0} \end{array}} \right.$
Phương trình $f(x) = m$ có hai nghiệm ${x_1} < {x_2}.$
Do đó ta có $0 < {x_1} < 1 < {x_2}$ với ${x_1},{x_2} = 1 \pm \sqrt {1 - m} .$
Hay ta có:

Nên: ${I_{(m)}} = \int_0^1 {\left| {{x^2} - 2x + m} \right|} dx$ $= \int_0^{{x_1}} {\left( {{x^2} - 2x + m} \right)} dx$ $+ \int_{{x_1}}^1 {\left( { - {x^2} + 2x - m} \right)} dx$ $= \left. {\left( {\frac{{{x^3}}}{3} - {x^2} + mx} \right)} \right|_0^{{x_1}}$ $+ \left. {\left( { - \frac{{{x^3}}}{3} + {x^2} - mx} \right)} \right|_{{x_1}}^1$ $= 2\left[ {\frac{{x_1^3}}{3} - x_1^2 + m{x_1}} \right] + \frac{2}{3} - m.$
Thế ${x_1} = 1 - \sqrt {1 - m}$ vào ta có:
${I_m} = \frac{2}{3}(1 - \sqrt {1 - m} )$$\left[ {{{(1 - \sqrt {1 - m} )}^2} - 3(1 - \sqrt {1 - m} ) + 3m} \right]$ $+ \frac{2}{3} - m$ $= \frac{2}{3}(1 - \sqrt {1 - m} )(2m - 1 + \sqrt {1 - m} )$ $+ \frac{2}{3} - m.$
+ Khi $m \le 0$ thì $\left\{ {\begin{array}{l} {f(0) = m \le 0}\\ {f(1) = m - 1 \le 0} \end{array}} \right.$
Do đó ta có ${x_1} \le 0 < 1 < {x_2}$ $\Rightarrow f(x) < 0$ $\forall x \in [0;1].$
Nên ${I_m} = \int_0^1 {\left( { - {x^2} + 2x - m} \right)} dx$ $= \left. {\left( {\frac{{ - {x^3}}}{3} + {x^2} - mx} \right)} \right|_0^1$ $= \frac{2}{3} - m.$

Ví dụ 4: Tính tích phân: $I = \int_0^2 {\left| {{x^2} - x} \right|} dx.$

Ta có:

Do đó: $I = \int_0^2 {\left| {{x^2} - x} \right|} dx$ $= \int_0^1 {\left( { - {x^2} + x} \right)} dx$ $+ \int_1^2 {\left( {{x^2} - x} \right)} dx$ $= \left. {\left( { - \frac{{{x^3}}}{3} + \frac{{{x^2}}}{2}} \right)} \right|_0^1$ $+ \left. {\left( {\frac{{{x^3}}}{3} - \frac{{{x^2}}}{2}} \right)} \right|_1^2 = 1.$

Ví dụ 5: Tính tích phân: $I(\alpha ) = \int_0^1 x |x - \alpha |dx.$

+ Khi $\alpha \le 0$ thì $x - \alpha \ge 0$ $\forall x \in [0;1].$
Vậy $I(\alpha ) = \int_0^1 x |x - \alpha |dx$ $= \left. {\left( {\frac{{{x^3}}}{3} - \frac{{\alpha {x^2}}}{2}} \right)} \right|_0^1$ $= \frac{1}{3} - \frac{\alpha }{2}.$
+ Khi $0 < \alpha < 1$, ta có:

Vậy $I(\alpha ) = \int_0^\alpha x |x - \alpha |dx$ $+ \int_\alpha ^1 x |x - \alpha |dx$ $= \int_0^\alpha {\left( { - {x^2} + \alpha x} \right)} dx$ $+ \int_\alpha ^1 {\left( {{x^2} - \alpha x} \right)} dx$ $= \left. {\left( {\frac{{\alpha {x^2}}}{2} - \frac{{{x^3}}}{3}} \right)} \right|_0^\alpha$ $+ \left. {\left( {\frac{{{x^3}}}{3} - \frac{{\alpha {x^2}}}{2}} \right)} \right|_\alpha ^1$ $= \frac{{{\alpha ^3}}}{3} - \frac{\alpha }{2} + \frac{1}{3}.$
+ Khi $\alpha \ge 1$ thì $x - \alpha \le 0$ $\forall x \in [0;1].$
Vậy $I(\alpha ) = \int_0^1 {\left( { - {x^2} + \alpha x} \right)} dx$ $= \left. {\left( { - \frac{{{x^3}}}{3} + \frac{{\alpha {x^2}}}{2}} \right)} \right|_0^1$ $= \frac{\alpha }{2} - \frac{1}{3}.$

Ví dụ 6: Cho $f(x) = 3{x^3} - {x^2} - 4x + 1$ và $g(x) = 2{x^3} + {x^2} - 3x - 1.$
a) Giải bất phương trình $f(x) \ge g(x).$
b) Tính $I = \int_{ - 1}^2 | f(x) - g(x)|dx.$

a) Ta có: $f(x) \ge g(x)$ $\Leftrightarrow f(x) - g(x) \ge 0$ $\Leftrightarrow {x^3} - 2x - x + 2 \ge 0$ $\Leftrightarrow (x - 1)\left( {{x^2} - x - 2} \right) \ge 0$ $\Leftrightarrow \left( {{x^2} - 1} \right)(x - 2) \ge 0$ $\Leftrightarrow - 1 \le x \le 1$ hoặc $x \ge 2.$
b) Ta có: (dựa vào câu a, ta xác định được $f(x) - g(x)$ âm, dương khi nào).

Vậy $I = \int_{ - 1}^2 | f(x) - g(x)|dx$ $= \int_{ - 1}^1 | f(x) - g(x)|dx$ $+ \int_1^2 | f(x) - g(x)|dx$ $= \int\limits_{ - 1}^1 {\left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right]dx}$ $- \int\limits_1^2 {\left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right]dx}$ $= \int_{ - 1}^1 {\left( {{x^3} - 2{x^2} - x + 2} \right)} dx$ $- \int_1^2 {\left( {{x^3} - 2{x^2} - x + 2} \right)} dx$ $= \left. {\left( {\frac{{{x^4}}}{4} - \frac{{2{x^2}}}{3} - \frac{{{x^2}}}{2} + 2x} \right)} \right|_{ - 1}^1$ $- \left. {\left( {\frac{{{x^4}}}{4} - \frac{{2{x^2}}}{3} - \frac{{{x^2}}}{2} + 2x} \right)} \right|_1^2 = \frac{{37}}{{12}}.$

Ví dụ 7: Tính tích phân: $I = \int_{ - \pi }^\pi {\sqrt {1 - \sin x} } dx.$

Ta có: $I = \int_{ - \pi }^\pi {\sqrt {{{\left( {\sin \frac{x}{2} - \cos \frac{x}{2}} \right)}^2}} } dx$ $= \int_{ - \pi }^\pi {\left| {\sin \frac{x}{2} - \cos \frac{x}{2}} \right|} dx$ $= \sqrt 2 \int_{ - \pi }^\pi {\left| {\cos \left( {\frac{x}{2} + \frac{\pi }{4}} \right)} \right|} dx.$
Đổi biến: đặt $t = \frac{x}{2} + \frac{\pi }{4} \Rightarrow dt = \frac{{dx}}{2}.$
Đổi cận: $\left[ {\begin{array}{l} {x = \pi }\\ {x = - \pi } \end{array}} \right.$ $\Rightarrow \left[ {\begin{array}{l} {t = \frac{{3\pi }}{4}}\\ {t = - \frac{\pi }{4}} \end{array}} \right.$
Ta thấy: với $- \frac{\pi }{4} \le t \le \frac{\pi }{2}$ thì $\cos t \ge 0$, với $\frac{\pi }{2} \le t \le \frac{{3\pi }}{4}$ thì $\cos t < 0.$
Suy ra: $I = 2\sqrt 2 \int_{ - \frac{\pi }{4}}^{\frac{{3\pi }}{4}} | \cos t|dt$ $= 2\sqrt 2 \int_{ - \frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}} {\cos } tdt - 2\sqrt 2 \int_{\frac{\pi }{2}}^{\frac{{3\pi }}{4}} { \cos tdt }$ $= 2\sqrt 2 \sin \left. t \right|_{ - \frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}} - 2\sqrt 2 \sin \left. t \right|_{\frac{\pi }{2}}^{\frac{{3\pi }}{4}} = 4\sqrt 2 .$

Ví dụ 8: Tính tích phân: $I = \int_{ - \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} | \sin x|dx.$

Ta có: $I = \int_{ - \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} | \sin x|dx$ $= \int_{ - \frac{\pi }{2}}^0 {( - \sin x)} dx + \int_0^{\frac{\pi }{2}} {\sin } xdx$ $= \cos \left. x \right|_{ - \frac{\pi }{2}}^0 + \left. {( - \cos x)} \right|_0^{\frac{\pi }{2}}$ $= 1 + 1 = 2.$

Ví dụ 9: Tính $I = \int_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{{3\pi }}{4}} | \sin 2x|dx.$

Đặt $t = 2x \Rightarrow dt = 2dx.$
Đổi cận $\left[ {\begin{array}{l} {x = \frac{{3\pi }}{4}}\\ {x = \frac{\pi }{4}} \end{array}} \right.$ $\Rightarrow \left[ {\begin{array}{l} {t = \frac{{3\pi }}{2}}\\ {t = \frac{\pi }{2}} \end{array}} \right.$

Do đó: $I = \frac{1}{2}\int_{\frac{\pi }{2}}^{\frac{{3\pi }}{2}} | \sin t|dt$ $= \frac{1}{2}\int_{\frac{\pi }{2}}^\pi | \sin t|dt + \frac{1}{2}\int_\pi ^{\frac{{3\pi }}{2}} | \sin t|dt$ $= \frac{1}{2}\int_{\frac{\pi }{2}}^\pi {\sin t} dt - \frac{1}{2}\int_\pi ^{\frac{{3\pi }}{2}} {\sin } tdt$ (vì $\frac{\pi }{2} \le t \le \pi$ thì $\sin t \ge 0$, $\frac{\pi }{2} \le t \le \frac{{3\pi }}{2}$ thì $\sin t \le 0$).
$I = - \frac{1}{2}\cos \left. t \right|_{\frac{\pi }{2}}^\pi + \frac{1}{2}\cos \left. t \right|_\pi ^{\frac{{3\pi }}{2}} = 1.$

Ví dụ 10: Tính tích phân: $I = \int_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{3}} {\sqrt {{{\tan }^2}x + {{\cot }^2}x - 2} } dx.$

Ta có: $\sqrt {{{\tan }^2}x + {{\cot }^2}x - 2}$ $= \sqrt {{{(\tan x + \cot x)}^2}}$ $= |\tan x - \cot x|$ $= \left| {\frac{{\sin x}}{{\cos x}} - \frac{{\cos x}}{{\sin x}}} \right|$ $= \left| {\frac{{{{\sin }^2}x - {{\cos }^2}x}}{{\sin x\cos x}}} \right|$ $= \left| {\frac{{{{\cos }^2}x - {{\sin }^2}x}}{{\sin x\cos x}}} \right|$ $= 2\left| {\frac{{\cos 2x}}{{\sin 2x}}} \right|.$
Ta có: $\frac{\pi }{6} \le x \le \frac{\pi }{3}$ $\Rightarrow \frac{\pi }{3} \le 2x \le \frac{{2\pi }}{3}.$
Do đó: $\sin 2x \ge 0$, $\left\{ \begin{array}{l} \cos 2x \le 0\:{\rm{khi}}\:x \in \left[ {\frac{\pi }{4};\frac{\pi }{3}} \right]\\ \cos 2x \ge 0\:{\rm{khi}}\:x \in \left[ {\frac{\pi }{6};\frac{\pi }{4}} \right] \end{array} \right.$
Vậy $I = \int_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{4}} 2 \left| {\frac{{\cos 2x}}{{\sin 2x}}} \right|dx$ $+ \int_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{3}} 2 \left| {\frac{{\cos 2x}}{{\sin 2x}}} \right|dx$ $= \int_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{4}} 2 \frac{{\cos 2x}}{{\sin 2x}}dx - \int_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{3}} 2 \frac{{\cos 2x}}{{\sin 2x}}dx$ $= \int_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{4}} 2 \frac{{d(\sin 2x)}}{{\sin 2x}} - \int_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{3}} 2 \frac{{d(\sin 2x)}}{{\sin 2x}}$ $= \ln \left. {|\sin 2x|} \right|_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{4}} - \left. {\ln |\sin 2x|} \right|_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{3}}$ $= \left( {\ln 1 - \ln \frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right) - \left( {\ln \frac{{\sqrt 3 }}{2} - \ln 1} \right)$ $= - 2\ln \frac{{\sqrt 3 }}{2}.$

Ví dụ 11: Tính tích phân: $I = \int_0^\pi {\sqrt {1 + \cos 2x} } dx.$

Ta có: $I = \int_0^\pi {\sqrt {1 + \cos 2x} } dx$ $= \int_0^\pi {\sqrt {2{{\cos }^2}x} } dx$ $= \int_0^\pi {\sqrt 2 } |\cos x|dx$ $= \sqrt 2 \int_0^{\frac{\pi }{2}} {\cos } xdx - \sqrt 2 \int_{\frac{\pi }{2}}^\pi {\cos } xdx$ $= \sqrt 2 \sin \left. x \right|_0^{\frac{\pi }{2}} - \sqrt 2 \sin \left. x \right|_{\frac{\pi }{2}}^\pi$ $= 2\sqrt 2 .$

Ví dụ 12: Tính tích phân: $I = \int_0^\pi | \cos x|\sqrt {\sin x} dx.$

Ta có: $I = \int_0^\pi | \cos x|\sqrt {\sin x} dx$ $+ \int_{\frac{\pi }{2}}^\pi | \cos x|\sqrt {\sin x} dx$ $= \int_0^{\frac{\pi }{2}} {\cos } x.{(\sin x)^{\frac{1}{2}}}dx$ $- \int_{\frac{\pi }{2}}^\pi {\cos } x.{(\sin x)^{\frac{1}{2}}}dx$ $= \int_0^{\frac{\pi }{2}} {{{(\sin x)}^{\frac{1}{2}}}} d(\sin x)$ $- \int_{\frac{\pi }{2}}^\pi {{{(\sin x)}^{\frac{1}{2}}}} d(\sin x)$ $= \frac{2}{3}\left. {{{(\sin x)}^{\frac{3}{2}}}} \right|_0^{\frac{\pi }{2}} - \frac{2}{3}\left. {{{(\sin x)}^{\frac{3}{2}}}} \right|_{\frac{\pi }{2}}^\pi$ $= \frac{2}{3} + \frac{2}{3} = \frac{4}{3}.$

Ví dụ 13: Tính tích phân: $I = \int_{ - 1}^1 {\frac{{|x|dx}}{{{x^4} - {x^2} - 12}}} .$

Vì hàm số $f(x) = \frac{{|x|}}{{{x^4} - {x^2} - 12}}$ là hàm số chẵn, liên tục trong $[ - 1;1].$
Suy ra: $I = \int_{ - 1}^1 {\frac{{|x|dx}}{{{x^4} - {x^2} - 12}}}$ $= 2\int_0^1 {\frac{{|x|dx}}{{{x^4} - {x^2} - 12}}}$ $= 2\int_0^1 {\frac{{xdx}}{{{x^4} - {x^2} - 12}}} .$
Đặt $t = {x^2} \Rightarrow dt = 2xdx.$
Đổi cận $\left[ {\begin{array}{l} {x = 1}\\ {x = 0} \end{array}} \right.$ $\Rightarrow \left[ {\begin{array}{l} {t = 1}\\ {t = 0} \end{array}} \right.$
Vậy $I = \int_0^1 {\frac{{dt}}{{{t^2} - t - 12}}}$ $= \int_0^1 {\frac{{dt}}{{(t - 4)(t + 3)}}}$ $= \frac{1}{7}\int_0^1 {\left( {\frac{1}{{t - 4}} - \frac{1}{{t + 3}}} \right)} dt$ $= \frac{1}{7}\ln \left. {\left| {\frac{{t - 4}}{{t + 3}}} \right|} \right|_0^1$ $= \frac{2}{7}\ln \frac{3}{4}.$