Phương trình lượng giác cơ bản

Bài viết hướng dẫn phương pháp giải và biện luận các phương trình lượng giác cơ bản: $\sin x = m$, $\cos x = m$, $\tan x = m$, $cot x = m.$

1. Giải và biện luận phương trình lượng giác $\sin x = m$
Do $\sin x \in \left[ { - 1;1} \right]$ nên để giải phương trình $\sin x = m$ ta đi biện luận theo các bước sau:
• Bước 1: Nếu $|m| > 1$ thì phương trình vô nghiệm.
• Bước 2: Nếu $|m| ≤ 1$, ta xét 2 khả năng:
+ Khả năng 1: Nếu $m$ được biểu diễn qua $sin$ của góc đặc biệt, giả sử $\alpha$, khi đó phương trình sẽ có dạng: $\sin x = \sin \alpha$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \alpha + k2\pi \\ x = \pi - \alpha + k2\pi \end{array} \right.$ $\left( {k \in Z} \right).$
+ Khả năng 2: Nếu $m$ không biểu diễn được qua $sin$ của góc đặc biệt, khi đó đặt $m = \sin \alpha$. Ta có: $\sin x = \sin \alpha$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \alpha + k2\pi \\ x = \pi - \alpha + k2\pi \end{array} \right.$ $\left( {k \in Z} \right).$
Chú ý: Nếu $α$ thỏa mãn $\left\{ \begin{array}{l} - \frac{\pi }{2} \le \alpha \le \frac{\pi }{2}\\ \sin \alpha = m \end{array} \right.$ thì ta viết $\alpha = \arcsin m.$
Các trường hợp đặc biệt:
1. $\sin x = 1 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k2\pi .$
2. $\sin x = - 1 \Leftrightarrow x = - \frac{\pi }{2} + k2\pi .$
3. $\sin x = 0 \Leftrightarrow x = k\pi .$

Ví dụ 1: Giải phương trình: $\sin (3x + \frac{\pi }{4}) = \frac{{\sqrt 3 }}{2}.$

Do $\sin \frac{\pi }{3} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}$ nên: $\sin (3x + \frac{\pi }{4}) = \frac{{\sqrt 3 }}{2}$ $\Leftrightarrow \sin (3x + \frac{\pi }{4}) = \sin \frac{\pi }{3}$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 3x + \frac{\pi }{4} = \frac{\pi }{3} + k2\pi \\ 3x + \frac{\pi }{4} = \pi - \frac{\pi }{3} + k2\pi \end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 3x = - \frac{\pi }{4} + \frac{\pi }{3} + k2\pi \\ 3x = \pi - \frac{\pi }{3} - \frac{\pi }{4} + k2\pi \end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \frac{\pi }{{24}} + k\frac{{2\pi }}{3}\\ x = \frac{{5\pi }}{{24}} + k\frac{{2\pi }}{3} \end{array} \right.\left( {k \in Z} \right).$
Vậy phương trình có hai họ nghiệm $\left[ \begin{array}{l} x = \frac{\pi }{{24}} + k\frac{{2\pi }}{3}\\ x = \frac{{5\pi }}{{24}} + k\frac{{2\pi }}{3} \end{array} \right. (k \in Z).$

Ví dụ 2: Giải phương trình $\sin x = \frac{1}{4}.$

Ta nhận thấy $\frac{1}{4}$ không là giá trị của cung đặc biệt nào.
Ta có: $\sin x = \frac{1}{4}$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \arcsin \frac{1}{4} + k2\pi \\ x = \pi - \arcsin \frac{1}{4} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in Z} \right).$
Vậy phương trình có 2 họ ngiệm $\left[ \begin{array}{l} x = \arcsin \frac{1}{4} + k2\pi \\ x = \pi - \arcsin \frac{1}{4} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in Z} \right).$

2. Giải và biện luận phương trình lượng giác $\cos x = m$
Ta biện luận phương trình $\cos x = m$ theo $m$:
• Bước 1: Nếu $\left| m \right| > 1$ thì phương trình vô nghiệm.
• Bước 2: Nếu $\left| m \right| \le 1$, ta xét 2 khả năng:
+ Khả năng 1: Nếu $m$ được biểu diễn qua $cos$ của góc đặc biệt, giả sử góc $\alpha$, khi đó phương trình có dạng: $\cos x = \cos \alpha$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \alpha + k2\pi \\ x = - \alpha + k2\pi \end{array} \right.$ $\left( {k \in Z} \right).$
+ Khả năng 2: Nếu $m$ không biểu diễn được qua $cos$ của góc đặc biệt, khi đó đặt $m = \cos \alpha$, ta có: $\cos x = \cos \alpha$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \alpha + k2\pi \\ x = - \alpha + k2\pi \end{array} \right.$ $\left( {k \in Z} \right).$
Chú ý: Nếu $α$ thỏa mãn $\left\{ \begin{array}{l} 0 \le - \alpha \le \pi \\ \cos \alpha = m \end{array} \right.$ thì ta viết $\alpha = \arccos m.$
Các trường hợp đặc biệt:
1. $\cos x = 1 \Leftrightarrow x = k2\pi .$
2. $\cos x = - 1 \Leftrightarrow x = \pi + k2\pi .$
3. $\cos x = 0 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k\pi .$

Ví dụ 3: Giải phương trình: $\cos x = - \frac{1}{2}.$

Do $- \frac{1}{2} = \cos \frac{{2\pi }}{3}$ nên $\cos x = - \frac{1}{2}$ $\Leftrightarrow \cos x = \cos \frac{{2\pi }}{3}$ $\Leftrightarrow x = \pm \frac{2\pi }{3} + k2\pi (k \in Z).$
Vậy phương trình có 2 họ nghiệm $x = \pm \frac{2\pi }{3} + k2\pi (k \in Z).$

Ví dụ 4: Giải phương trình: $3\cos (2x + \frac{\pi }{6}) = 1.$

Ta có: $3\cos (2x + \frac{\pi }{6}) = 1$ $\Leftrightarrow \cos (2x + \frac{\pi }{6}) = \frac{1}{3}$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 2x + \frac{\pi }{6} = \arccos \frac{1}{3} + k2\pi \\ 2x + \frac{\pi }{6} = - \arccos \frac{1}{3} + k2\pi \end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \frac{{ - \pi }}{{12}} + \frac{{\arccos \frac{1}{3}}}{2} + k\pi \\ x = \frac{{ - \pi }}{{12}} - \frac{{\arccos \frac{1}{3}}}{2} + k\pi \end{array} \right.\left( {k \in Z} \right).$
Vậy phương trình có hai họ nghiệm $\left[ \begin{array}{l} x = \frac{{ - \pi }}{{12}} + \frac{{\arccos \frac{1}{3}}}{2} + k\pi \\ x = \frac{{ - \pi }}{{12}} - \frac{{\arccos \frac{1}{3}}}{2} + k\pi \end{array} \right.\left( {k \in Z} \right).$

3. Giải và biện luận phương trình lượng giác $\tan x = m$
• Bước 1: Đặt điều kiện $\cos x \ne 0$ $\Leftrightarrow x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi$ $\left( {k \in Z} \right).$
• Bước 2: Xét 2 khả năng:
+ Khả năng 1: Nếu $m$ được biểu diễn qua $tan$ của góc đặc biệt, giả sử $\alpha$, khi đó phương trình có dạng: $\tan x = \tan \alpha$ $\Leftrightarrow x = \alpha + k\pi$ $(k \in Z).$
+ Khả năng 2: Nếu $m$ không biểu diễn được qua $tan$ của góc đặc biệt, khi đó đặt $m = \tan \alpha$, ta được: $\tan x = \tan \alpha$ $\Leftrightarrow x = \alpha + k\pi$ $\left( {k \in Z} \right).$
Chú ý: Nếu $α$ thỏa mãn $\left\{ \begin{array}{l} - \frac{\pi }{2} < \alpha < \frac{\pi }{2}\\ \tan \alpha = m \end{array} \right.$ thì ta viết $\alpha = \arctan m.$
Các trường hợp đặc biệt:
1. $\tan x = 1 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + k\pi .$
2. $\tan x = - 1 \Leftrightarrow x = - \frac{\pi }{4} + k\pi .$
3. $\tan x = 0 \Leftrightarrow x = k\pi .$

Ví dụ 5: Giải phương trình $\tan x = \sqrt 3 .$

Do $\sqrt 3 = \tan \frac{\pi }{6}$ nên ta có: $\tan x = \sqrt 3$ $\Leftrightarrow \tan x = \tan \frac{\pi }{6}$ $\Leftrightarrow x = \frac{\pi }{6} + k\pi$ $\left( {k \in Z} \right).$
Vậy phương trình có 1 họ nghiệm $x = \frac{\pi }{6} + k\pi \left( {k \in Z} \right).$

Ví dụ 6: Giải phương trình $\tan (\frac{\pi }{5} - x) = 2.$

Điều kiện: $\cos (\frac{\pi }{5} - x) \ne 0$ $\Leftrightarrow \frac{\pi }{5} - x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi$ $(k ∈ Z).$
Ta có: $\tan (\frac{\pi }{5} - x) = 2$ $\Leftrightarrow \frac{\pi }{5} - x = \arctan 2 + k\pi$ $\Leftrightarrow x = \frac{\pi }{5} - \arctan 2 - k\pi$ $(k \in Z).$
Vậy phương trình có một họ nghiệm $x = \frac{\pi }{5} - \arctan 2 - k\pi$ $(k \in Z).$

4. Giải và biện luận phương trình lượng giác $\cot x = m$
• Bước 1: Đặt điều kiện $\sin x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne k\pi$ $\left( {k \in Z} \right).$
• Bước 2: Xét 2 khả năng:
+ Khả năng 1: Nếu $m$ được biểu diễn qua $cot$ của góc đặc biệt, giả sử $\alpha$, khi đó phương trình có dạng: $\cot x = \cot \alpha$ $\Leftrightarrow x = \alpha + k\pi$ $\left( {k \in Z} \right).$
+ Khả năng 2: Nếu $m$ không biểu diễn được qua $cot$ của góc đặc biệt, khi đó đặt $m = \cot \alpha$ ta được: $\cot x = \cot \alpha$ $\Leftrightarrow x = \alpha + k\pi$ $\left( {k \in Z} \right).$
Chú ý: Nếu $α$ thỏa mãn $\left\{ \begin{array}{l} - \frac{\pi }{2} < \alpha < \frac{\pi }{2}\\ \cot \alpha = m \end{array} \right.$ thì ta viết $\alpha = arccot m.$
Các trường hợp đặc biệt:
1. $\cot x = 1 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + k\pi .$
2. $co{\mathop{\rm t}\nolimits} x = - 1 \Leftrightarrow x = - \frac{\pi }{4} + k\pi .$
3. $\cot x = 0 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k\pi .$

Ví dụ 7: Giải phương trình $\cot (\frac{\pi }{4} - x) = \frac{1}{{\sqrt 3 }}.$

Điều kiện $\cos (\frac{\pi }{4} - x) \ne 0$ $\Leftrightarrow \frac{\pi }{4} - x \ne k\pi$ $\Leftrightarrow x \ne \frac{\pi }{4} - k\pi$ $\left( {k \in Z} \right).$
Ta có: $\cot (\frac{\pi }{4} - x) = \frac{1}{{\sqrt 3 }}$ $⇔ \cot (\frac{\pi }{4} - x) = \cot \frac{\pi }{3}$ $\Leftrightarrow \frac{\pi }{4} - x = \frac{\pi }{3} + k\pi$ $\Leftrightarrow x = - \frac{\pi }{{12}} - k\pi$ $\left( {k \in Z} \right)$ (thỏa mãn điều kiện).
Vậy phương trình có 1 họ nghiệm $x = - \frac{\pi }{{12}} - k\pi$ $\left( {k \in Z} \right).$

Ví dụ 8: Giải phương trình $\cot (4x + {35^o}) = - 1.$

Điều kiện $4x + {35^o} \ne k{180^o}$ $(k ∈ Z).$
Ta có: $\cot (4x + {35^o}) = - 1$ $\Leftrightarrow \cot (4x + {35^o}) = \cot ( - {45^o})$ $\Leftrightarrow 4x + {35^o} = - {45^o} + k{180^o}$ $\Leftrightarrow 4x = - {80^o} + k{180^o}$ $\Leftrightarrow x = - {20^o} + k{45^o}$ $(k \in Z).$
Vậy phương trình có 1 họ nghiệm $x = - {20^o} + k{45^o}$ $(k \in Z).$