Số phức và một số ứng dụng – Nguyễn Tài Chung

Tài liệu gồm 45 trang được biên soạn bởi thầy giáo Nguyễn Tài Chung (giáo viên Toán trường THPT Chuyên Hùng Vương, tỉnh Gia Lai) giới thiệu một số ứng dụng của số phức trong việc giải các bài toán liên quan đến chứng minh bất đẳng thức, giải phương trình, hệ phương trình, phương trình hàm đa thức.

Khái quát nội dung tài liệu số phức và một số ứng dụng – Nguyễn Tài Chung:
BÀI 1. SỐ PHỨC VÀ MỘT VÀI ỨNG DỤNG
• Sử dụng số phức chứng minh bất đẳng thức
Ta xét một số ví dụ về dùng số phức để chứng minh bất đẳng thức. Đây là phương pháp rất độc đáo, thú vị, dùng cái ảo để chứng minh cái thực.
• Sử dụng số phức giải phương trình, hệ phương trình
Một phương trình nghiệm phức f(z) = 0, với z = x + iy, ta biến đổi thành: h(x,y) + ig(x,y) = 0 ⇔ h(x,y) = 0 và g(x,y) = 0. Nghĩa là một phương trình nghiệm phức, bằng cách tách phần thực và phần ảo luôn có thể đưa về hệ phương trình.
• Hệ lặp sinh bởi các đa thức đối xứng ba biến
• Sử dụng số phức để giải phương trình hàm đa thức
Nghiệm của đa thức đóng vai trò quan trọng trong việc xác định một đa thức. Cụ thể, nếu đa thức P(x) bậc n (n ∈ N*) có n nghiệm x1, x2, . . . , xn thì P(x) có dạng P(x) = c(x − x1)(x − x2). . .(x − xn). Tuy nhiên nếu chỉ xét các nghiệm thực thì trong nhiều trường hợp sẽ không đủ số nghiệm. Hơn nữa trong bài toán phương trình hàm đa thức, nếu chỉ xét các nghiệm thực thì lời giải sẽ không hoàn chỉnh. Định lí cơ bản của đại số vì vậy đóng một vai trò hết sức quan trọng trong dạng toán này.