Tìm căn bậc hai của một số phức

Bài viết trình bày phương pháp tìm căn bậc hai của một số phức bất kỳ, kiến thức và các ví dụ trong bài viết được tham khảo từ các trên khodethi.com.

Bài toán: Tìm các căn bậc hai của số phức $w.$

1. Trường hợp $w$ là một số thực
+ Nếu $w < 0$ thì $w$ có hai căn bậc hai là $\pm i\sqrt {|w|}$.
+ Nếu $w = 0$ thì $w$ có đúng một căn bậc hai là $0.$
+ Nếu $w > 0$ thì $w$ có hai căn bậc hai là $\pm \sqrt w$.

Ví dụ 1:
+ Hai căn bậc hai của $-1$ là $i$ và $-i$. Hai căn bậc hai của $-9$ là $3i$ và $-3i$.
+ Hai căn bậc hai của $- {a^2}$ ($a$ là số thực khác $0$) là $ai$ và $-ai$.

2. Trường hợp $w = a + bi \left( {a, b \in R, b \ne 0} \right)$
Gọi $z = x + yi \left( {x,y \in R} \right)$ là một căn bậc hai của $w$ khi và chỉ khi ${z^2} = w$, tức là:
${\left( {x + yi} \right)^2} = a + bi$ $\Leftrightarrow {x^2} - {y^2} + 2xyi = a + bi$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {x^2} - {y^2} = a\\ 2xy = b \end{array} \right.$
Mỗi cặp số thực $\left( {x;y} \right)$ nghiệm đúng hệ phương trình trên cho ta một căn bậc hai $x + yi$ của số phức $w = a + bi$.

Ví dụ 2: Tìm các căn bậc hai của số phức $w = - 5 + 12i$.
Gọi $z = x + yi \left( {x,y \in R} \right)$ là một căn bậc hai của số phức $w = - 5 + 12i$.
Ta có: ${z^2} = w$ $ \Leftrightarrow {\left( {x + yi} \right)^2} = - 5 + 12i$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {x^2} - {y^2} = - 5\\ 2xy = 12 \end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {x^2} = 4\\ y = \frac{6}{x} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} x = 2\\ y = 3 \end{array} \right.\\ \left\{ \begin{array}{l} x = - 2\\ y = - 3 \end{array} \right. \end{array} \right.$

Vậy $w = - 5 + 12i$ có hai căn bậc hai là $2 + 3i$ và $- 2 - 3i$.

Ví dụ 3: Cho số phức $z = 3 + 4i$. Tìm căn bậc hai của $z.$
Giả sử $w = x + yi \left( {x,y \in R} \right)$ là một căn bậc hai của số phức $z = 3 + 4i$.
Ta có: ${w^2} = z \Leftrightarrow {\left( {x + yi} \right)^2} = 3 + 4i$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {x^2} - {y^2} = 3\\ 2xy = 4 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {x^2} = 4\\ y = \frac{2}{x} \end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} x = 2\\ y = 1 \end{array} \right.\\ \left\{ \begin{array}{l} x = - 2\\ y = - 1 \end{array} \right. \end{array} \right.$
Do đó $z$ có hai căn bậc hai là $\left[ \begin{array}{l} z = 2 + i\\ z = - 2 - i \end{array} \right.$

Chú ý: Ta có thể tính nhanh căn bậc hai của số phức $z = 3 + 4i$ bằng cách dựa vào hằng đẳng thức $a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2$ như sau:
$z = 3 + 4i = 3 + 2.2.i$ $= 4 + 2.2.i + (-1)$ $= 2^2 + 2.2.i + i^2$ $= (2 + i)^2$. Từ đó suy ra $z$ có hai căn bậc hai là $\left[ \begin{array}{l} z = 2 + i\\ z = - 2 - i \end{array} \right.$

Ví dụ 4: Căn bậc hai của số phức $4 + 6\sqrt 5 i$ là?
Giả sử $w$ là một căn bậc hai của $4 + 6\sqrt 5 i$. Ta có:
${w^2} = 4 + 6\sqrt 5 i$ $ \Leftrightarrow {w^2} = {\left( {3 + \sqrt 5 i} \right)^2}$ $ \Leftrightarrow w = \pm \left( {3 + \sqrt 5 i} \right).$