Đề chọn HSG tỉnh thi HSG QG môn Toán năm 2023 – 2024 sở GD&ĐT Quảng Ngãi

khodethi.com giới thiệu đến quý thầy, cô giáo và các em học sinh đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh tham dự kỳ thi chọn học sinh giỏi Quốc gia môn Toán THPT năm học 2023 – 2024 sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Quảng Ngãi; kỳ thi được diễn ra trong hai ngày: 03/10/2023 và 04/10/2023.

Trích dẫn Đề chọn HSG tỉnh thi HSG QG môn Toán năm 2023 – 2024 sở GD&ĐT Quảng Ngãi:

• Cho số nguyên dương a. Một số nguyên dương b được gọi là số “tốt” nếu với mọi số nguyên dương n mà an >= b. Chứng minh rằng: a) Nếu b là số “tốt” thì b là số chẵn. b) Nếu b là số “tốt” thì mọi số nguyên tố không vượt quá b đều là ước của a.
• Cho tam giác ABC không cân. Một đường tròn (O) đi qua B, C lần lượt cắt các đoạn thẳng AB, AC tại F, E (khác B, C). Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABE cắt đường thẳng CF tại M, N sao cho M nằm giữa C và F. Đường tròn ngoại tiếp tam giác ACF cắt đường thẳng BE tại P, Q sao cho P nằm giữa B và E. a) Chứng minh rằng các điểm M, N, P, Q cùng thuộc một đường tròn. b) Đường thẳng qua N vuông góc với AN cắt đường thẳng BE tại R. Đường thẳng qua Q vuông góc với AQ cắt đường thẳng CF tại S. Đường thẳng SP cắt NR tại U, đường thẳng RM cắt QS tại V. Chứng minh rằng các đường thẳng MP, NQ, UV, RS đồng quy.
• Người ta viết các số 1, 2, 3, 4, …, 2022, 2023 lên bảng (mỗi số đúng 1 lần) rồi tô màu ít nhất 1011 số trong các số đó theo quy luật sau: Nếu số x được tô màu thì số 2x cũng được tô màu (nếu 2x có trên bảng). Nếu hai số x, y được tô màu thì số x + y cũng được tô màu (nếu x + y có trên bảng). Gọi T là tổng tất cả các số không được tô màu trên bảng. Tìm giá trị lớn nhất của T.