Giải bài tập SGK Giải tích 12 cơ bản: Nguyên hàm

Bài viết hướng dẫn giải các bài tập trong phần câu hỏi và bài tập và phần luyện tập của sách giáo khoa Giải tích 12 cơ bản: Nguyên hàm.

CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP

Bài 1. Trong các cặp hàm số dưới đây, hàm số nào là nguyên hàm của hàm số kia?

a) ${e^{ - x}}$ và $- {e^{ - x}}.$

b) $\sin 2x$ và ${\sin ^2}x.$

c) ${\left( {1 - \frac{2}{x}} \right)^2}{e^x}$ và $\left( {1 - \frac{4}{x}} \right){e^x}.$

Lời giải:

a) Hàm số ${e^{ - x}}$ là một nguyên hàm của hàm số $- {e^{ - x}}$ và hàm số $- {e^{ - x}}$ cũng là một nguyên hàm của hàm số ${e^{ - x}}$ vì: $\left( {{e^{ - x}}} \right)’ = - {e^{ - x}}$ và $\left( { - {e^{ - x}}} \right)’ = {e^{ - x}}.$

b) Hàm số ${\sin ^2}x$ là một nguyên hàm của hàm số $\sin 2x$ vì: $\left( {{{\sin }^2}x} \right)’ = \sin 2x.$

c) Ta có: $\left[ {\left( {1 - \frac{4}{x}} \right){e^x}} \right]’$ $= {e^x}.\frac{4}{{{x^2}}} + {e^x}\left( {1 - \frac{4}{x}} \right)$ $= {e^x}\left( {\frac{4}{{{x^2}}} + 1 - \frac{4}{x}} \right)$ $= {e^x}{\left( {1 - \frac{2}{x}} \right)^2}.$

Vậy: $\left( {1 - \frac{4}{x}} \right){e^x}$ là một nguyên hàm của hàm số ${e^x}{\left( {1 - \frac{2}{x}} \right)^2}$ với mọi $x \ne 0.$

Bài 2. Tìm một nguyên hàm của các hàm số dưới đây:

a) $f(x) = \frac{{x + \sqrt x + 1}}{{\sqrt[3]{x}}}.$

b) $f(x) = \frac{{{2^x} - 1}}{{{e^x}}}.$

c) $f(x) = \frac{1}{{{{\sin }^2}x.{{\cos }^2}x}}.$

d) $f(x) = \sin 5x.\cos 3x.$

e) $f(x) = {\tan ^2}x.$

g) $f(x) = {e^{3 - 2x}}.$

h) $f(x) = \frac{1}{{(1 + x)(1 - 2x)}}.$

Lời giải:

a) Ta có: $f(x) = \frac{{x + \sqrt x + 1}}{{\sqrt[3]{x}}}$ $= \frac{x}{{{x^{\frac{1}{3}}}}} + \frac{{{x^{\frac{1}{2}}}}}{{{x^{\frac{1}{3}}}}} + \frac{1}{{{x^{\frac{1}{3}}}}}$ $= {x^{\frac{2}{3}}} + {x^{\frac{1}{6}}} + {x^{ - \frac{1}{3}}}.$

Suy ra nguyên hàm của $f(x)$ là: $\frac{3}{5}{x^{\frac{5}{3}}} + \frac{6}{7}{x^{\frac{7}{6}}} + \frac{3}{2}{x^{\frac{2}{3}}}.$

b) $\frac{{{2^x} + 1 - \ln 2}}{{{e^x}(1 - \ln 2)}}.$

c) $- 2\cot 2x.$

d) $\sin x + \cos x.$

e) $\tan x - x.$

g) $- \frac{1}{2}{e^{3 - 2x}}.$

h) $\frac{1}{3}\ln \left| {\frac{{1 + x}}{{1 - 2x}}} \right|.$

Bài 3. Sử dụng phương pháp đổi biến số hãy tính:

a) $\int {{{(1 - x)}^9}} dx.$

b) $\int x {\left( {1 + {x^2}} \right)^{\frac{3}{2}}}dx.$

c) $\int {{{\cos }^3}} x.\sin xdx.$

d) $\int {\frac{{dx}}{{{e^x} + {e^{ - x}} + 2}}} .$

Lời giải:

a) Đặt $u = 1 - x$ ta có $du = - dx.$

Do đó: $\int {{{(1 - x)}^9}} dx$ $= - \int {{u^9}} du$ $= - \frac{1}{{10}}{u^{10}} + C.$

Thay $u = 1 - x$, ta được: $\int {{{(1 - x)}^9}} dx$ $= - \frac{1}{{10}}{(1 - x)^{10}} + C.$

b) Đặt $u = 1 + {x^2}$ ta có: $du = 2xdx$ $\Rightarrow xdx = \frac{{du}}{2}.$

Do đó: $\int x {\left( {1 + {x^2}} \right)^{\frac{3}{2}}}dx$ $= \frac{1}{2}\int {{u^{\frac{3}{2}}}} du$ $= \frac{1}{2}.\frac{1}{{\frac{3}{2} + 1}}{u^{\frac{3}{2} + 1}} + C$ $= \frac{1}{5}{u^{\frac{5}{2}}} + C.$

Thay $u = 1 + {x^2}$, ta được: $\int x {\left( {1 + {x^2}} \right)^{\frac{3}{2}}}dx$ $= \frac{1}{5}{\left( {1 + {x^2}} \right)^{\frac{5}{2}}} + C.$

c) Đặt $u = \cos x$ ta có: $du = - \sin xdx.$

Do đó: $\int {{{\cos }^3}} x.\sin xdx$ $= - \int {{u^3}} du$ $= - \frac{1}{4}{u^4} + C.$

Thay $u = \cos x$, ta được: $\int {{{\cos }^3}} x.\sin xdx$ $= - \frac{1}{4}{\cos ^4}x + C.$

d) Đặt $u = {e^x}$ ta có $du = {e^x}dx.$

Do đó: $\int {\frac{{dx}}{{{e^x} + {e^{ - x}} + 2}}}$ $= \int {\frac{{dx}}{{{e^x} + \frac{1}{{{e^x}}} + 2}}}$ $= \int {\frac{{du}}{{{u^2} + 2u + 1}}}$ $= \int {\frac{{du}}{{{{(u + 1)}^2}}}}$ $= \int {\frac{{d(u + 1)}}{{{{(u + 1)}^2}}}} .$

$= \int {{{(u + 1)}^{ - 2}}} d(u + 1)$ $= - {(u + 1)^{ - 1}} + C$ $= - \frac{1}{{u + 1}} + C.$

Thay $u = {e^x}$, ta được: $\int {\frac{{dx}}{{{e^x} + {e^{ - x}} + 2}}}$ $= - \frac{1}{{{e^x} + 1}} + C.$

Cách khác:

Ta có: $\int {\frac{{dx}}{{{e^x} + {e^{ - x}} + 2}}}$ $= \int {\frac{{dx}}{{{e^x} + \frac{1}{{{e^x}}} + 2}}}$ $= \int {\frac{{{e^x}dx}}{{{{\left( {{e^x} + 1} \right)}^2}}}}$ $= \int {\frac{{d\left( {{e^x} + 1} \right)}}{{{{\left( {{e^x} + 1} \right)}^2}}}} .$

$= \int {{{\left( {{e^x} + 1} \right)}^{ - 2}}} d\left( {{e^x} + 1} \right)$ $= - \frac{1}{{{e^x} + 1}} + C.$

Bài 4. Sử dụng phương pháp tính nguyên hàm từng phần, hãy tính:

a) $\int x \ln (1 + x)dx.$

b) $\int {\left( {{x^2} + 2x - 1} \right){e^x}dx} .$

c) $\int x \sin (2x + 1)dx.$

b) $\int {(1 - x)} \cos xdx.$

Lời giải:

a) Đặt $u = \ln (1 + x)$, $dv = xdx$ ta có: $du = \frac{1}{{1 + x}}dx$, $v = \frac{{{x^2}}}{2}.$

Áp dụng công thức tính nguyên hàm từng phần ta có:

$\int x \ln (1 + x)dx$ $= \frac{{{x^2}}}{2}\ln (1 + x) - \frac{1}{2}\int {\frac{{{x^2}}}{{1 + x}}dx} .$

$= \frac{{{x^2}}}{2}\ln (1 + x)$ $- \frac{1}{2}\int {\frac{{{x^2} - 1 + 1}}{{1 + x}}dx}$ $= \frac{{{x^2}}}{2}\ln (1 + x)$ $- \frac{1}{2}\int {\left( {x - 1 + \frac{1}{{1 + x}}} \right)dx.}$

$= \frac{{{x^2}}}{2}\ln (1 + x)$ $- \frac{1}{2}\int {(x - 1)dx}$ $- \frac{1}{2}\int {\frac{{dx}}{{1 + x}}} .$

$= \frac{{{x^2}}}{2}\ln (1 + x)$ $- \frac{1}{2}\left( {\frac{{{x^2}}}{2} - x} \right)$ $- \frac{1}{2}\ln (1 + x) + C.$

$= \frac{{{x^2}}}{2}\ln (1 + x)$ $- \frac{{{x^2}}}{4} + \frac{x}{2}$ $- \frac{1}{2}\ln (1 + x) + C$ $= \frac{1}{2}\left( {{x^2} - 1} \right)\ln (1 + x)$ $- \frac{{{x^2}}}{4} + \frac{x}{2} + C.$

b) $\int {\left( {{x^2} + 2x - 1} \right){e^x}dx} .$

Đặt $\left\{ {\begin{array}{l} {u = {x^2} + 2x - 1}\\ {dv = {e^x}dx} \end{array}} \right.$ $\Rightarrow \left\{ {\begin{array}{l} {du = 2(x + 1)dx}\\ {v = {e^x}} \end{array}} \right..$

Áp dụng công thức tính nguyên hàm từng phần ta có:

$\int {\left( {{x^2} + 2x - 1} \right){e^x}dx}$ $= \left( {{x^2} + 2x - 1} \right){e^x}$ $- 2\int {(x + 1){e^x}dx} .$

Lại đặt: $\left\{ {\begin{array}{l} {{u_1} = x + 1}\\ {d{v_1} = {e^x}dx} \end{array}} \right.$ $\Rightarrow \left\{ {\begin{array}{l} {d{u_1} = dx}\\ {{v_1} = {e^x}} \end{array}} \right..$

Áp dụng công thức tính nguyên hàm từng phần ta có:

$\int {(x + 1){e^x}dx}$ $= (x + 1){e^x} - \int {{e^x}} dx$ $= (x + 1){e^x} - {e^x} + {C_1}$ $= x{e^x} + {C_1}.$

Vậy $\int {\left( {{x^2} + 2x - 1} \right){e^x}dx}$ $= \left( {{x^2} + 2x - 1} \right){e^x} - 2x{e^x} + C$ $= \left( {{x^2} - 1} \right){e^x} + C.$

c) Đặt $\left\{ {\begin{array}{l} {u = x}\\ {dv = \sin (2x + 1)dx} \end{array}} \right.$ $\Rightarrow \left\{ {\begin{array}{l} {du = dx}\\ {v = - \frac{1}{2}\cos (2x + 1)} \end{array}} \right..$

Áp dụng công thức tính nguyên hàm từng phần ta có:

$\int x \sin (2x + 1)dx$ $= - \frac{1}{2}x.\cos (2x + 1)$ $+ \frac{1}{2}\int {\cos (2x + 1)dx} .$

$= - \frac{1}{2}x\cos (2x + 1)$ $+ \frac{1}{4}\int {\cos (2x + 1)d(2x + 1)} .$

$= - \frac{1}{2}x\cos (2x + 1)$ $+ \frac{1}{4}\sin (2x + 1) + C.$

d) Đặt $\left\{ {\begin{array}{l} {u = 1 - x}\\ {dv = \cos xdx} \end{array}} \right.$ $\Rightarrow \left\{ {\begin{array}{l} {du = - dx}\\ {v = \sin x} \end{array}} \right..$

Áp dụng công thức tính nguyên hàm từng phần ta có:

$\int {(1 - x)} \cos xdx$ $= (1 - x)\sin x + \int {\sin xdx}$ $= (1 - x)\sin x - \cos x + C.$