Giải bài tập SGK Giải tích 12 cơ bản: Phép chia số phức

Bài viết hướng dẫn giải các bài tập trong phần câu hỏi và bài tập và phần luyện tập của sách giáo khoa Giải tích 12 cơ bản: Phép chia số phức.

CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP

Bài 1. Thực hiện các phép chia sau:

a) $\frac{{2 + i}}{{3 - 2i}}.$

b) $\frac{{1 + i\sqrt 2 }}{{2 + i\sqrt 3 }}.$

c) $\frac{{5i}}{{2 - 3i}}.$

d) $\frac{{5 - 2i}}{i}.$

Lời giải:

a) Ta có: $\frac{{2 + i}}{{3 - 2i}}$ $= \frac{{(2 + i)(3 + 2i)}}{{{3^2} + {{( - 2)}^2}}}$ $= \frac{4}{{13}} + \frac{7}{{13}}i.$

b) $\frac{{1 + i\sqrt 2 }}{{2 + i\sqrt 3 }}$ $= \frac{{(1 + i\sqrt 2 )(2 - i\sqrt 3 )}}{{{2^2} + {{(\sqrt 3 )}^2}}}$ $= \frac{{2 + \sqrt 6 }}{7} + \frac{{2\sqrt 2 - \sqrt 3 }}{7}i.$

c) $\frac{{5i}}{{2 - 3i}}$ $= \frac{{5i(2 + 3i)}}{{{2^2} + {{( - 3)}^2}}}$ $= - \frac{{15}}{{13}} + \frac{{10}}{{13}}i.$

d) $\frac{{5 - 2i}}{i}$ $= \frac{{(5 - 2i)( - i)}}{{{0^2} + {1^2}}}$ $= - 2 - 5i.$

Bài 2. Tìm nghịch đảo $\frac{1}{z}$ của các số phức:

a) ${1 + 2i.}$

b) ${\sqrt 2 - 3i.}$

c) ${i.}$

d) $5 + i\sqrt 3 .$

Lời giải:

a) Với $z = 1 + 2i$ $\Rightarrow \frac{1}{z} = \frac{{1 - 2i}}{{{1^2} + {{(2)}^2}}}$ $= \frac{{1 - 2i}}{5} = \frac{1}{5} - \frac{2}{5}i.$

b) Với $z = \sqrt 2 - 3i$ $\Rightarrow \frac{1}{z} = \frac{{\sqrt 2 + 3i}}{{{{(\sqrt 2 )}^2} + {{( - 3)}^2}}}$ $= \frac{{\sqrt 2 + 3i}}{{11}}$ $= \frac{{\sqrt 2 }}{{11}} + \frac{3}{{11}}i.$

c) Với $z = i$ $\Rightarrow \frac{1}{z} = \frac{{ - i}}{{{{(1)}^2}}} = - i.$

d) Với $z = 5 + i\sqrt 3$ $\Rightarrow \frac{1}{z} = \frac{{5 - i\sqrt 3 }}{{{5^2} + {{(\sqrt 3 )}^2}}}$ $= \frac{5}{{28}} - \frac{{\sqrt 3 }}{{28}}i.$

Bài 3. Thực hiện các phép tính sau:

a) $2i(3 + i)(2 + 4i).$

b) $\frac{{{{(1 + i)}^2}{{(2i)}^3}}}{{ - 2 + i}}.$

c) $3 + 2i + (6 + i)(5 + i).$

d) $4 - 3i + \frac{{5 + 4i}}{{3 + 6i}}.$

Lời giải:

a) Ta có: $2i(3 + i)(2 + 4i)$ $= 2i(2 + 14i)$ $= - 28 + 4i.$

b) $\frac{{{{(1 + i)}^2}{{(2i)}^3}}}{{ - 2 + i}}$ $= \frac{{2i( - 8i)}}{{ - 2 + i}}$ $= \frac{{16}}{{ - 2 + i}}$ $= \frac{{16( - 2 - i)}}{{{{( - 2)}^2} + {1^2}}}$ $= \frac{{ - 32}}{5} - \frac{{16}}{5}i.$

c) $(3 + 2i) + (6 + i)(5 + i)$ $= (3 + 2i) + (29 + 11i)$ $= 32 + 13i.$

d) $4 - 3i + \frac{{5 + 4i}}{{3 + 6i}}$ $= 4 - 3i + \frac{{(5 + 4i)(3 - 6i)}}{{{3^2} + {6^2}}}$ $= 4 - 3i + \frac{{39}}{{45}} - \frac{{18}}{{45}}i$ $= \frac{{73}}{{15}} - \frac{{17}}{5}i.$

Bài 4. Giải các phương trình sau:

a) $(3 - 2i)z + (4 + 5i)$ $= 7 + 3i.$

b) $(1 + 3i)z - (2 + 5i)$ $= (2 + i)z.$

c) $\frac{z}{{4 - 3i}} + (2 - 3i)$ $= 5 - 2i.$

Lời giải:

a) $(3 - 2i)z + (4 + 5i) = 7 + 3i$ $\Leftrightarrow (3 - 2i)z = 3 - 2i$ $\Leftrightarrow z = \frac{{3 - 2i}}{{3 - 2i}} = 1.$

Vậy phương trình có một nghiệm $z = 1.$

b) $(1 + 3i)z - (2 + 5i) = (2 + i)z.$

$\Leftrightarrow (1 + 3i)z - (2 + i)z = 2 + 5i$ $\Leftrightarrow ( - 1 + 2i)z = 2 + 5i.$

$\Leftrightarrow z = \frac{{2 + 5i}}{{ - 1 + 2i}}$ $= \frac{{(2 + 5i)( - 1 - 2i)}}{5}$ $\Leftrightarrow z = \frac{8}{5} - \frac{9}{5}i.$

c) $\frac{z}{{4 - 3i}} + (2 - 3i) = 5 - 2i.$

$\Leftrightarrow \frac{z}{{4 - 3i}} = 3 + i$ $\Leftrightarrow z = (4 - 3i)(3 + i)$ $\Leftrightarrow z = 15 - 5i.$

Vậy phương trình có một nghiệm là: $z = 15 - 5i.$