Giải bài tập SGK Giải tích 12 cơ bản: Tích phân

Bài viết hướng dẫn giải các bài tập trong phần câu hỏi và bài tập và phần luyện tập của sách giáo khoa Giải tích 12 cơ bản: Tích phân.

CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP

Bài 1. Tính các tích phân sau đây:

a) $\int_{ - \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} {\sqrt[3]{{{{(1 - x)}^2}}}} dx.$

b) $\int_0^{\frac{\pi }{2}} {\sin } \left( {\frac{\pi }{4} - x} \right)dx.$

c) $\int_{\frac{1}{2}}^2 {\frac{1}{{x(x + 1)}}dx} .$

d) $\int_0^2 x {(x + 1)^2}dx.$

e) $\int_{\frac{1}{2}}^2 {\frac{{1 - 3x}}{{{{(x + 1)}^2}}}dx} .$

f) $\int_{ - \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} {\sin } 3x.\cos 5xdx.$

Lời giải:

a) Đặt $u = 1 - x$ ta có $du = - dx.$

Khi $x = - \frac{1}{2}$ thì $u = \frac{3}{2}$; khi $x = \frac{1}{2}$ thì $u = \frac{1}{2}.$

Do đó: $\int_{ - \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} {\sqrt[3]{{{{(1 - x)}^2}}}dx}$ $= - \int_{\frac{3}{2}}^{\frac{1}{2}} {\sqrt[3]{{{u^2}}}} du$ $= \int_{\frac{1}{2}}^{\frac{3}{2}} {{u^{\frac{2}{3}}}} du$ $= \left. {\frac{3}{5}{u^{\frac{5}{3}}}} \right|_{\frac{1}{2}}^{\frac{3}{2}}$ $= \left. {\frac{3}{5}u\sqrt[3]{{{u^2}}}} \right|_{\frac{1}{2}}^{\frac{3}{2}}.$

$= \frac{3}{5}\left( {\frac{3}{2}\sqrt[3]{{\frac{9}{4}}} - \frac{1}{2}\sqrt[3]{{\frac{1}{4}}}} \right)$ $= \frac{3}{{10\sqrt[3]{4}}}(3\sqrt[3]{9} - 1).$

b) Đặt $u = \frac{\pi }{4} - x$ ta có $du = - dx.$

Khi $x = 0$ thì $u = \frac{\pi }{4}$; khi $x = \frac{\pi }{2}$ thì $u = - \frac{\pi }{4}.$

Do đó: $\int_0^{\frac{\pi }{2}} {\sin } \left( {\frac{\pi }{4} - x} \right)dx$ $= - \int_{\frac{\pi }{4}}^{ - \frac{\pi }{4}} {\sin udu}$ $= \int_{ - \frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{4}} {\sin udu}$ $= - \left. {\cos u} \right|_{ - \frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{4}}$ $= - \left( {\cos \frac{\pi }{4} - \cos \left( { - \frac{\pi }{4}} \right)} \right) = 0.$

Vậy $\int_0^{\frac{\pi }{2}} {\sin } \left( {\frac{\pi }{4} - x} \right)dx = 0.$

c) Ta có: $\frac{1}{{x(x + 1)}} = \frac{1}{x} - \frac{1}{{x + 1}}.$

Do đó: $\int_{\frac{1}{2}}^2 {\frac{{dx}}{{x(x + 1)}}}$ $= \int_{\frac{1}{2}}^2 {\left( {\frac{1}{x} - \frac{1}{{x + 1}}} \right)dx}$ $= \int_{\frac{1}{2}}^2 {\frac{{dx}}{x}} - \int_{\frac{1}{2}}^2 {\frac{{dx}}{{x + 1}}}$ $= \int_{\frac{1}{2}}^2 {\frac{{dx}}{x}} - \int_{\frac{1}{2}}^2 {\frac{{d(x + 1)}}{{x + 1}}}$ $= \left. {\ln |x|} \right|_{\frac{1}{2}}^2 - \left. {\ln |x + 1|} \right|_{\frac{1}{2}}^2.$

$= \ln 2 - \ln \frac{1}{2} - \ln 3 - \ln \frac{3}{2}$ $= \ln 2.$

d) $\int_0^2 x {(x + 1)^2}dx$ $= \int_0^2 {\left( {{x^3} + 2{x^2} + x} \right)dx}$ $= \left. {\left( {\frac{{{x^4}}}{4} + \frac{2}{3}{x^3} + \frac{1}{2}{x^2}} \right)} \right|_0^2$ $= 4 + \frac{{16}}{3} + 2$ $= \frac{{34}}{3}.$

e) Đặt $u = x + 1$ ta có $du = dx$ và $x = u - 1.$

Khi $x = \frac{1}{2}$ thì $u = \frac{3}{2}$; khi $x = 2$ thì $u = 3.$

Do đó: $\int_{\frac{1}{2}}^2 {\frac{{1 - 3x}}{{{{(x + 1)}^2}}}dx}$ $= \int_{\frac{3}{2}}^3 {\frac{{1 - 3(u - 1)}}{{{u^2}}}du}$ $= \int_{\frac{3}{2}}^3 {\frac{{4 - 3u}}{{{u^2}}}du}$ $= 4\int_{\frac{3}{2}}^3 {\frac{{du}}{{{u^2}}}} - 3\int_{\frac{3}{2}}^3 {\frac{{du}}{u}}$ $= - \left. {\frac{4}{u}} \right|_{\frac{3}{2}}^3 - \left. {3\ln u} \right|_{\frac{3}{2}}^3.$

$= - \left( {\frac{4}{3} - \frac{4}{{\frac{3}{2}}}} \right) - 3\left( {\ln 3 - \ln \frac{3}{2}} \right)$ $= \frac{4}{3} - 3\ln 2.$

f) Ta có: $\sin 3x.\cos 5x$ $= \frac{1}{2}(\sin 8x - \sin 2x).$

Do đó: $\int_{ - \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} {\sin } 3x.\cos 5xdx$ $= \frac{1}{2}\int_{ - \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} {(\sin 8x - \sin 2x)dx}$ $= \frac{1}{2}\int_{ - \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} {\sin 8xdx} - \frac{1}{2}\int_{ - \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} {\sin 2xdx} .$

$= \left. { - \frac{1}{{16}}\cos 8x} \right|_{ - \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} + \left. {\frac{1}{4}\cos 2x} \right|_{ - \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}$ $= - \frac{1}{{16}}[\cos 4\pi - \cos ( - 4\pi )]$ $+ \frac{1}{4}[\cos \pi - \cos ( - \pi )].$

$= - \frac{1}{{16}}(1 - 1) + \frac{1}{4}( - 1 + 1) = 0.$

Bài 2. Tính các tích phân sau:

a) $\int_0^2 {|1 - x|dx} .$

b) $\int_0^{\frac{\pi }{2}} {{{\sin }^2}xdx} .$

c) $\int_0^{\ln 2} {\frac{{{e^{2x + 1}} + 1}}{{{e^x}}}dx.}$

d) $\int_0^\pi {\sin 2x.{{\cos }^2}xdx.}$

Lời giải:

a) Ta có: $|1 - x|$ $= \left\{ {\begin{array}{l} {1 - x\:{\rm{ với }}\:0 \le x \le 1}\\ {x - 1\:{\rm{ với }}\:1 \le x \le 2} \end{array}} \right..$

Do đó:

$\int_0^2 {|1 - x|dx}$ $= \int_0^1 {(1 - x)dx} + \int_1^2 {(x - 1)dx}$ $= \left. {\left( {x - \frac{{{x^2}}}{2}} \right)} \right|_0^1 + \left. {\left( {\frac{{{x^2}}}{2} - x} \right)} \right|_1^2$ $= \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1.$

b) Ta có: ${\sin ^2}x = \frac{{1 - \cos 2x}}{2}.$

Do đó: $\int_0^{\frac{\pi }{2}} {{{\sin }^2}xdx}$ $= \frac{1}{2}\int_0^{\frac{\pi }{2}} {(1 - \cos 2x)dx}$ $= \frac{1}{2}\int_0^{\frac{\pi }{2}} {dx} - \frac{1}{2}\int_0^{\frac{\pi }{2}} {\cos 2xdx}$ $= \left. {\frac{1}{2}x} \right|_0^{\frac{\pi }{2}} - \left. {\frac{1}{4}\sin 2x} \right|_0^{\frac{\pi }{2}}$ $= \frac{\pi }{4}.$

c) $\int_0^{\ln 2} {\frac{{{e^{2x + 1}} + 1}}{{{e^x}}}dx}$ $= \int_0^{\ln 2} {\left( {{e^{x + 1}} + {e^{ - x}}} \right)dx}$ $= \int_0^{\ln 2} {{e^{x + 1}}} dx + \int_0^{\ln 2} {{e^{ - x}}} dx.$

$= \int_0^{\ln 2} {{e^{x + 1}}} d(x + 1) - \int_0^{\ln 2} {{e^{ - x}}} d( - x)$ $= \left. {{e^{x + 1}}} \right|_0^{\ln 2} - \left. {{e^{ - x}}} \right|_0^{\ln 2}.$

$= {e^{\ln 2 + 1}} - {e^1} - {e^{ - \ln 2}} + 1$ $= {e^{\ln 2 + 1}} - \frac{1}{{{e^{\ln 2}}}} - (e - 1)$ $= e + \frac{1}{2}.$

d) $\int_0^\pi {\sin 2x.{{\cos }^2}xdx}$ $= 2\int_0^\pi {\sin x.{{\cos }^3}xdx}$ $= - 2\int_0^\pi {{{\cos }^3}xd(\cos x)}$ $= - \left. {2.\frac{1}{4}{{\cos }^4}x} \right|_0^\pi .$

$= - \frac{1}{2}\left( {{{\cos }^4}\pi - {{\cos }^4}0} \right) = 0.$

Bài 3. Sử dụng phương pháp đổi biến số, hãy tính:

a) $\int_0^3 {\frac{{{x^2}}}{{{{(1 + x)}^{\frac{3}{2}}}}}dx} .$

b) $\int_0^1 {\sqrt {1 - {x^2}} } dx.$

c) $\int_0^1 {\frac{{{e^x}(1 + x)}}{{1 + x{e^x}}}dx.}$

d) $\int_0^{\frac{a}{2}} {\frac{1}{{\sqrt {{a^2} - {x^2}} }}dx}$ $(a > 0).$

Lời giải:

a) Đặt $u = 1 + x$ ta có $du = dx$; ${x^2} = {(u - 1)^2}.$

Khi $x = 0$ thì $u = 1$; khi $x = 3$ thì $u = 4.$

Do đó: $\int_0^3 {\frac{{{x^2}}}{{{{(1 + x)}^{\frac{3}{2}}}}}dx}$ $= \int_1^4 {\frac{{{{(u - 1)}^2}}}{{{u^{\frac{3}{2}}}}}du}$ $= \int_1^4 {\frac{{{u^2} - 2u + 1}}{{{u^{\frac{3}{2}}}}}du} .$

$= \int_1^4 {\left( {{u^{\frac{1}{2}}} - 2{u^{ - \frac{1}{2}}} + {u^{ - \frac{3}{2}}}} \right)du}$ $= \int_1^4 {{u^{\frac{1}{2}}}} du - 2\int_1^4 {{u^{ - \frac{1}{2}}}} du + \int_1^4 {{u^{ - \frac{3}{2}}}} du.$

$= \left. {\frac{2}{3}{u^{\frac{3}{2}}}} \right|_1^4 - \left. {4{u^{\frac{1}{2}}}} \right|_1^4 - \left. {2{u^{ - \frac{1}{2}}}} \right|_1^4$ $= \frac{{16}}{3} - \frac{2}{3} - (8 - 4) - 2\left( {\frac{1}{2} - 1} \right)$ $= \frac{{14}}{3} - 3$ $= \frac{5}{3}.$

b) Cách 1: Đặt $x = \sin t$ ta có: $dx = \cos tdt.$

Khi $x = 0$ thì $t = 0$; khi $x = 1$ thì $t = \frac{\pi }{2}.$

Do đó: $\int_0^1 {\sqrt {1 - {x^2}} } dx$ $= \int_0^{\frac{\pi }{2}} {\sqrt {1 - {{\sin }^2}t} } \cos tdt$ $= \int_0^{\frac{\pi }{2}} | \cos t|.\cos tdt$ $= \int_0^{\frac{\pi }{2}} {{{\cos }^2}tdt}$ (vì $\cos t \ge 0$, $\forall t \in \left[ {0;\frac{\pi }{2}} \right]$).

$\Rightarrow \int_0^1 {\sqrt {1 - {x^2}} } dx$ $= \int_0^{\frac{\pi }{2}} {{{\cos }^2}tdt}$ $= \frac{1}{2}\int_0^{\frac{\pi }{2}} {(1 + \cos 2t)dt} .$

$= \frac{1}{2}\int_0^{\frac{\pi }{2}} {dt} + \frac{1}{4}\int_0^{\frac{\pi }{2}} {\cos 2td(2t)}$ $= \left. {\frac{1}{2}t} \right|_0^{\frac{\pi }{2}} + \left. {\frac{1}{4}\sin 2t} \right|_0^{\frac{\pi }{2}}$ $= \frac{\pi }{4} + 0 = \frac{\pi }{4}.$

Vậy $\int_0^1 {\sqrt {1 - {x^2}} } dx = \frac{\pi }{4}.$

Cách 2: Ta có $y = \sqrt {1 - {x^2}}$, $0 \le x \le 1$ là phương trình của cung của đường tròn tâm $O$, bán kính $R = 1.$

Vậy tích phân $\int_0^1 {\sqrt {1 - {x^2}} } dx$ bằng diện tích hình phẳng giới hạn bởi cung $AB$ và hai trục tọa độ. Hình phẳng đó là một phần tư đường tròn bán kính $1$, do đó: $\int_0^1 {\sqrt {1 - {x^2}} } dx = \frac{\pi }{4}.$

c) Đặt $u = x{e^x}$ ta có: $du = \left( {{e^x} + x{e^x}} \right)dx$ $= {e^x}(x + 1)dx.$

Khi $x = 0$ thì $u = 0$; khi $x = 1$ thì $u = e.$

Do đó: $\int_0^1 {\frac{{{e^x}(x + 1)}}{{1 + x{e^x}}}dx}$ $= \int_0^e {\frac{{du}}{{1 + u}}}$ $= \left. {\ln (1 + u)} \right|_0^e$ $= \ln (e + 1).$

d) Đặt $x = a\sin t$ ta có: $dx = a\cos tdt.$

Khi $x = 0$ thì $t = 0$; khi $x = \frac{a}{2}$ thì $t = \frac{\pi }{6}.$

Do đó: $\int_0^{\frac{a}{2}} {\frac{1}{{\sqrt {{a^2} - {x^2}} }}dx}$ $= \int_0^{\frac{\pi }{6}} {\frac{{a\cos tdt}}{{\sqrt {{a^2} - {a^2}{{\sin }^2}t} }}}$ $= \int_0^{\frac{\pi }{6}} {\frac{{a\cos tdt}}{{|a\cos t|}}} .$

Vì $a > 0$ và $\cos t \ge 0$, $\forall t \in \left[ {0;\frac{\pi }{6}} \right]$ nên $\int_0^{\frac{\pi }{6}} {\frac{{a\cos tdt}}{{|a.\cos t|}}}$ $= \int_0^{\frac{\pi }{6}} d t = \left. t \right|_0^{\frac{\pi }{6}} = \frac{\pi }{6}.$

Vậy $\int_0^{\frac{a}{2}} {\frac{1}{{\sqrt {{a^2} - {x^2}} }}dx} = \frac{\pi }{6}.$

Bài 4. Sử dụng phương pháp tích phân từng phần hãy tính:

a) $\int_0^{\frac{\pi }{2}} {(x + 1)} \sin xdx.$

b) $\int_1^e {{x^2}} \ln xdx.$

c) $\int_0^1 {\ln } (1 + x)dx.$

d) $\int_0^1 {\left( {{x^2} - 2x - 1} \right){e^{ - x}}dx} .$

Lời giải:

a) Đặt $\left\{ {\begin{array}{l} {u = x + 1}\\ {dv = \sin xdx} \end{array}} \right.$ $\Rightarrow \left\{ {\begin{array}{l} {du = dx}\\ {v = - \cos x} \end{array}} \right..$

Áp dụng công thức tính tích phân từng phần ta có:

$\int_0^{\frac{\pi }{2}} {(x + 1)} \sin xdx$ $= - \left. {(x + 1)\cos x} \right|_0^{\frac{\pi }{2}} + \int_0^{\frac{\pi }{2}} {\cos xdx} .$

$= - \left[ {\left( {\frac{\pi }{2} + 1} \right)\cos \frac{\pi }{2} - \cos 0} \right] + \left. {\sin x} \right|_0^{\frac{\pi }{2}}$ $= 2.$

b) Đặt $\left\{ {\begin{array}{l} {u = \ln x}\\ {dv = {x^2}dx} \end{array}} \right.$ $\Rightarrow \left\{ {\begin{array}{l} {du = \frac{{dx}}{x}}\\ {v = \frac{{{x^3}}}{3}} \end{array}} \right..$

Áp dụng công thức tính tích phân từng phần ta có:

$\int_1^e {{x^2}} \ln xdx$ $= \left. {\frac{{{x^3}}}{3}\ln x} \right|_1^e - \frac{1}{3}\int_1^e {{x^2}} dx$ $= \frac{{{e^3}}}{3} - \left. {\frac{1}{9}{x^3}} \right|_1^e$ $= \frac{{{e^3}}}{3} - \frac{1}{9}\left( {{e^3} - 1} \right)$ $= \frac{2}{9}{e^3} + \frac{1}{9}.$

c) Đặt $\left\{ {\begin{array}{l} {u = \ln (1 + x)}\\ {dv = dx} \end{array}} \right.$ $\Rightarrow \left\{ {\begin{array}{l} {du = \frac{1}{{1 + x}}dx}\\ {v = x} \end{array}} \right.$

Ta có: $\int_0^1 {\ln } (1 + x)dx$ $= \left. {x\ln (1 + x)} \right|_0^1 - \int_0^1 {\frac{x}{{1 + x}}dx.}$

$= \ln 2 - \int_0^1 {\frac{{x + 1 - 1}}{{1 + x}}dx}$ $= \ln 2 - \int_0^1 d x + \int_0^1 {\frac{{dx}}{{1 + x}}} .$

$= \ln 2 - \left. x \right|_0^1 + \left. {\ln (1 + x)} \right|_0^1$ $= \ln 2 - 1 + \ln 2$ $= 2\ln 2 - 1.$

d) Đặt $\left\{ {\begin{array}{l} {u = {x^2} - 2x - 1}\\ {dv = {e^{ - x}}dx} \end{array}} \right.$$\Rightarrow \left\{ {\begin{array}{l} {du = (2x - 2)dx}\\ {v = - {e^{ - x}}} \end{array}} \right..$

Áp dụng công thức tính tích phân từng phần ta có:

$\int_0^1 {\left( {{x^2} - 2x - 1} \right){e^{ - x}}dx}$ $= - \left. {{e^{ - x}}\left( {{x^2} - 2x - 1} \right)} \right|_0^1$ $+ \int_0^1 {(2x - 2){e^{ - x}}dx}$ $= \frac{2}{e} - 1 + 2\int_0^1 {(x - 1){e^{ - x}}dx.}$

Tiếp tục đặt: $\left\{ {\begin{array}{l} {{u_1} = x - 1}\\ {d{v_1} = {e^{ - x}}dx} \end{array}} \right.$ $\Rightarrow \left\{ {\begin{array}{l} {d{u_1} = du}\\ {{v_1} = - {e^{ - x}}} \end{array}} \right..$

Ta có: $\int_0^1 {(x - 1){e^{ - x}}dx}$ $= - \left. {{e^{ - x}}(x - 1)} \right|_0^1 + \int_0^1 {{e^{ - x}}} dx$ $= - 1 - \left. {{e^{ - x}}} \right|_0^1$ $= - 1 - \frac{1}{e} + 1$ $= - \frac{1}{e}.$

Vậy $\int_0^1 {\left( {{x^2} - 2x - 1} \right){e^{ - x}}dx}$ $= \frac{2}{e} - 1 - \frac{2}{e} = - 1.$

Bài 5. Tính các tích phân sau:

a) $\int_0^1 {{{(1 + 3x)}^{\frac{3}{2}}}dx} .$

b) $\int_0^{\frac{1}{2}} {\frac{{{x^3} - 1}}{{{x^2} - 1}}dx.}$

c) $\int_1^2 {\frac{{\ln (1 + x)}}{{{x^2}}}dx} .$

Lời giải:

a) Đặt $u = 1 + 3x$ ta có: $du = 3dx.$

Khi $x = 0$ thì $u = 1$; khi $x = 1$ thì $u = 4.$

Do đó: $\int_0^1 {{{(1 + 3x)}^{\frac{3}{2}}}} dx$ $= \frac{1}{3}\int_1^4 {{u^{\frac{3}{2}}}} du$ $= \left. {\frac{1}{3}.\frac{2}{5}{u^{\frac{5}{2}}}} \right|_1^4$ $= \frac{2}{{15}}\left( {{4^{\frac{5}{2}}} - 1} \right)$ $= \frac{{62}}{{15}}.$

b) $\int_0^{\frac{1}{2}} {\frac{{{x^3} - 1}}{{{x^2} - 1}}dx}$ $= \int_0^{\frac{1}{2}} {\frac{{(x - 1)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}}{{(x - 1)(x + 1)}}dx}$ $= \int_0^{\frac{1}{2}} {\frac{{{x^2} + x + 1}}{{x + 1}}dx}$ $= \int_0^{\frac{1}{2}} {\left( {x + \frac{1}{{x + 1}}} \right)dx.}$

$= \left. {\frac{{{x^2}}}{2}} \right|_0^{\frac{1}{2}} + \left. {\ln (x + 1)} \right|_0^{\frac{1}{2}}$ $= \frac{1}{8} + \ln \frac{3}{2}.$

c) Đặt $\left\{ {\begin{array}{l} {u = \ln (1 + x)}\\ {dv = \frac{{dx}}{{{x^2}}}} \end{array}} \right.$ $\Rightarrow \left\{ {\begin{array}{l} {du = \frac{1}{{1 + x}}dx}\\ {v = - \frac{1}{x}} \end{array}} \right..$

Ta có: $\int_1^2 {\frac{{\ln (1 + x)}}{{{x^2}}}dx}$ $= - \left. {\frac{1}{x}\ln (1 + x)} \right|_1^2 + \int_1^2 {\frac{{dx}}{{x(1 + x)}}}$ $= - \frac{1}{2}\ln 3 + \ln 2 + \int_1^2 {\frac{{dx}}{{x(1 + x)}}} .$

Xét $\int_1^2 {\frac{{dx}}{{(x + 1)x}}} .$ Ta có: $\frac{1}{{x(1 + x)}} = \frac{1}{x} - \frac{1}{{x + 1}}.$

Do đó: $\int_1^2 {\frac{{dx}}{{x(x + 1)}}}$ $= \int_1^2 {\left( {\frac{1}{x} - \frac{1}{{x + 1}}} \right)dx}$ $= \int_1^2 {\frac{{dx}}{x}} - \int_1^2 {\frac{{dx}}{{x + 1}}}$ $= \left. {\ln x} \right|_1^2 - \left. {\ln (1 + x)} \right|_1^2.$

$= \ln 2 - \ln 3 + \ln 2.$

Vậy $\int_1^2 {\frac{{\ln (1 + x)}}{{{x^2}}}dx}$ $= - \frac{1}{2}\ln 3 + \ln 2 + \ln 2 - \ln 3 + \ln 2.$

$= 3\ln 2 - \frac{3}{2}\ln 3$ $= \ln 8 - \frac{3}{2}\ln 3$ $= 3\ln \frac{{2\sqrt 3 }}{3}.$

Bài 6. Tính $\int_0^1 {{x^2}} {(1 - x)^5}dx$ bằng hai phương pháp:

a) Đổi biến số $u = 1 - x.$

b) Tích phân từng phần.

Lời giải:

a) Đặt $u = 1 - x$ ta có: $du = - dx.$

Đổi cận:

Ta có: $x = 1 - u$ nên:

$J = \int_1^0 {(u - 1){u^5}du}$ $= \int_1^0 {{u^6}} du - \int_1^0 {{u^5}} du$ $= \left. {\frac{{{u^7}}}{7}} \right|_1^0 - \left. {\frac{{{u^6}}}{6}} \right|_1^0$ $= \frac{1}{{42}}.$

b) $J = - \frac{1}{6}\int_0^1 {xd} {(x - 1)^6}$ $= - \frac{1}{6}\left[ {\left. {x{{(x - 1)}^6}} \right|_0^1 - \int_0^1 {{{(x - 1)}^6}} dx} \right].$

$= - \frac{1}{6}\left[ { - \int_0^1 {{{(x - 1)}^6}} d(x - 1)} \right]$ $= \left. {\frac{1}{{42}}{{(x - 1)}^7}} \right|_0^1 = \frac{1}{{42}}.$