Giải bài tập SGK Giải tích 12 nâng cao: Bất phương trình mũ và lôgarit

Bài viết hướng dẫn giải các bài tập trong phần câu hỏi và bài tập và phần luyện tập của sách giáo khoa Giải tích 12 nâng cao: Bất phương trình mũ và lôgarit.

CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP

Bài 80. Giải các bất phương trình:

a) ${2^{3 - 6x}} > 1.$

b) ${16^x} > 0,125.$

Lời giải:

a) ${2^{3 - 6x}} > 1$ $\Leftrightarrow {2^3} > {2^{6x}}$ $\Leftrightarrow 3 > 6x$ $\Leftrightarrow x < \frac{1}{2}.$

b) ${16^x} > 0,125$ $\Leftrightarrow {2^{4x}} > {2^{ - 3}}$ $\Leftrightarrow 4x > - 3$ $\Leftrightarrow x > - \frac{3}{4}.$

Bài 81. Giải các bất phương trình:

a) ${\log _5}(3x - 1) < 1.$

b) ${\log _{\frac{1}{3}}}(5x - 1) > 0.$

c) ${\log _{0,5}}\left( {{x^2} - 5x + 6} \right) \ge - 1.$

d) ${\log _3}\frac{{1 - 2x}}{x} \le 0.$

Lời giải:

a) ${\log _5}(3x - 1) < 1.$

Điều kiện: $x > \frac{1}{3}.$

Bất phương trình $\Leftrightarrow {\log _5}(3x - 1) < {\log _5}5$ $\Leftrightarrow 3x - 1 < 5$ $\Leftrightarrow x < 2.$

Kết hợp với điều kiện ta được $\frac{1}{3} < x < 2.$

b) ${\log _{\frac{1}{3}}}(5x - 1) > 0.$

Điều kiện: $5x - 1 > 0$ $\Leftrightarrow x > \frac{1}{5}.$

Bất phương trình tương đương với: $5x - 1 < 1$ $\Leftrightarrow x < \frac{2}{5}.$

Kết hợp với điều kiện ta được: $\frac{1}{5} < x < \frac{2}{5}.$

c) ${\log _{0,5}}\left( {{x^2} - 5x + 6} \right) \ge - 1.$

Điều kiện: ${x^2} - 5x + 6 > 0.$

Bất phương trình tương đương với: ${x^2} - 5x + 6 \le {(0,5)^{ - 1}}$ $\Leftrightarrow {x^2} - 5x + 4 \le 0.$

$\Leftrightarrow 1 \le x \le 4.$

Kết hợp với điều kiện ta được tập nghiệm $S = (1;2) \cup (3;4].$

Cách khác:

${\log _{0,5}}\left( {{x^2} - 5x + 6} \right) \ge - 1$ $\Leftrightarrow 0 < {x^2} - 5x + 6 \le {(0,5)^{ - 1}}.$

$\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{l} {{x^2} - 5x + 6 > 0}\\ {{x^2} - 5x + 4 \le 0} \end{array}} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{l} {x < 2\,\,{\rm{hoặc}}\,\,x > 3}\\ {1 \le x \le 4} \end{array}} \right..$

$\Leftrightarrow 1 \le x < 2$ hoặc $3 < x \le 4.$

Tập nghiệm: $S = [1;2) \cup (3;4].$

d) ${\log _3}\frac{{1 - 2x}}{x} \le 0.$

Điều kiện: $x \ne 0$ và $\frac{{1 - 2x}}{x} > 0.$

Bất phương trình trên tương đương với: $0 < \frac{{1 - 2x}}{x} \le 1.$

$\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{l} {\frac{{1 - 2x}}{x} > 0}\\ {\frac{{1 - 3x}}{x} \le 0} \end{array}} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{l} {0 < x < \frac{1}{2}}\\ {x \ge \frac{1}{3}\,\,{\rm{hoặc}}\,\,x < 0} \end{array}} \right.$ $\Leftrightarrow \frac{1}{3} \le x < \frac{1}{2}.$

Tập nghiệm của bất phương trình là: $S = \left[ {\frac{1}{3};\frac{1}{2}} \right).$

Bài 82. Giải các bất phương trình:

a) $\log _{0,5}^2x + {\log _{0,5}}x - 2 \le 0.$

b) ${2^x} + {2^{ - x + 1}} - 3 < 0.$

Lời giải:

a) $\log _{0,5}^2x + {\log _{0,5}}x - 2 \le 0.$

Đặt $t = {\log _{0,5}}x.$

Ta được: ${t^2} + t - 2 \le 0.$

$\Leftrightarrow - 2 \le t \le 1$ $\Rightarrow \left\{ {\begin{array}{l} {{{\log }_{0,5}}x \ge - 2}\\ {{{\log }_{0,5}}x \le 1} \end{array}} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{l} {x \le {{(0,5)}^{ - 2}}}\\ {x \ge {{(0,5)}^1}} \end{array}} \right.$ $\Leftrightarrow 0,5 \le x \le 4.$

b) ${2^x} + {2^{ - x + 1}} - 3 < 0$ $\Leftrightarrow {2^{2x}} - {3.2^x} + 2 < 0.$

Đặt $t = {2^x}$ $(t > 0)$, ta được: ${t^2} - 3t + 2 < 0$ $\Leftrightarrow 1 < t < 2.$

$\Rightarrow 1 < {2^x} < 2$ $\Leftrightarrow 0 < x < 1.$

Vậy tập nghiệm của hệ phương trình $S = (0;1).$

Bài 83. Giải các bất phương trình:

a) ${\log _{0,1}}\left( {{x^2} + x - 2} \right) > {\log _{0,1}}(x + 3).$

b) ${\log _{\frac{1}{3}}}\left( {{x^2} - 6x + 5} \right) + 2{\log _3}(2 - x) \ge 0.$

Lời giải:

a) ${\log _{0,1}}\left( {{x^2} + x - 2} \right) > {\log _{0,1}}(x + 3).$

$\Leftrightarrow 0 < {x^2} + x - 2 < x + 3$ $\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{l} {{x^2} + x - 2 > 0}\\ {{x^2} - 5 < 0} \end{array}} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{l} {x < - 2\,\,{\rm{hoặc}}\,\,x > 1}\\ { - \sqrt 5 < x < \sqrt 5 } \end{array}} \right..$

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $S = ( - \sqrt 5 ; - 2) \cup (1;\sqrt 5 ).$

b) ${\log _{\frac{1}{3}}}\left( {{x^2} - 6x + 5} \right) + 2{\log _3}(2 - x) \ge 0.$

Điều kiện: $\left\{ {\begin{array}{l} {2 - x > 0}\\ {{x^2} - 6x + 5 > 0} \end{array}} \right..$

Ta có: ${\log _{\frac{1}{3}}}\left( {{x^2} - 6x + 5} \right) + 2{\log _3}(2 - x) \ge 0.$

$\Leftrightarrow {\log _{\frac{1}{3}}}\left( {{x^2} - 6x + 5} \right) \ge - {\log _3}{(2 - x)^2}$ $\Leftrightarrow {\log _{\frac{1}{3}}}\left( {{x^2} - 6x + 5} \right) \ge {\log _{\frac{1}{3}}}{(2 - x)^2}.$

$\Leftrightarrow {x^2} - 6x + 5 \le {(2 - x)^2}$ $\Leftrightarrow 2x - 1 \ge 0.$

Bất phương trình đã cho tương đương với:

$\left\{ {\begin{array}{l} {{x^2} - 6x + 5 > 0}\\ {2 - x > 0}\\ {2x - 1 \ge 0} \end{array}} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{l} {x < 1\,\,{\rm{hoặc}}\,\,x > 5}\\ {x < 2}\\ {x \ge \frac{1}{2}} \end{array}} \right.$ $\Leftrightarrow \frac{1}{2} \le x < 1.$

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $S = \left[ {\frac{1}{2};1} \right).$