Giải bài tập SGK Giải tích 12 nâng cao: Nguyên hàm

Bài viết hướng dẫn giải các bài tập trong phần câu hỏi và bài tập và phần luyện tập của sách giáo khoa Giải tích 12 nâng cao: Nguyên hàm.

CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP

Bài 1. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:

a) $f(x) = 3{x^2} + \frac{x}{2}.$

b) $f(x) = 2{x^3} - 5x + 7.$

c) $f(x) = \frac{1}{{{x^2}}} - {x^2} - \frac{1}{3}.$

d) $f(x) = {x^{ - \frac{1}{3}}}.$

e) $f(x) = {10^{2x}}.$

Lời giải:

a) Ta có: $\int {\left( {3{x^2} + \frac{x}{2}} \right)dx}$ $= \int 3 {x^2}dx + \int {\frac{x}{2}} dx$ $= {x^3} + \frac{{{x^2}}}{4} + C.$

Vậy nguyên hàm của hàm số: $f(x) = 3{x^2} + \frac{x}{2}$ là $F(x) = {x^3} + \frac{{{x^2}}}{4} + C.$

b) Tương tự câu a ta có: $\int {\left( {2{x^3} - 5x + 7} \right)dx}$ $= \frac{{{x^4}}}{2} - \frac{5}{2}{x^2} + 7x + C.$

c) Xét $\int {\left( {\frac{1}{{{x^2}}} - {x^2} - \frac{1}{3}} \right)dx}$ $= \int {\left( {{x^{ - 2}} - {x^2} - \frac{1}{3}} \right)dx}$ $= \frac{{{x^{ - 1}}}}{{ - 1}} - \frac{{{x^3}}}{3} - \frac{1}{3}x + C.$

$= - \frac{1}{x} - \frac{{{x^3}}}{3} - \frac{1}{3}x + C.$

d) Xét: $\int {\left( {{x^{ - \frac{1}{3}}}} \right)dx}$ $= \frac{{{x^{ - \frac{1}{3} + 1}}}}{{ - \frac{1}{3} + 1}}$ $= \frac{{{x^{\frac{2}{3}}}}}{{\frac{2}{3}}} + C$ $= \frac{3}{2}\sqrt[3]{{{x^2}}} + C.$

e) Ta có: $\int 1 {0^{2x}}dx = \frac{{{{10}^{2x}}}}{{2.\ln 10}} + C.$

Bài 2. Tìm:

a) $\int {(\sqrt x + \sqrt[3]{x})dx} .$

b) $\int {\frac{{x\sqrt x + \sqrt x }}{{{x^2}}}dx} .$

c) $\int 4 {\sin ^2}xdx.$

d) $\int {\frac{{1 + \cos 4x}}{2}dx} .$

Lời giải:

a) Ta có: $\int {(\sqrt x + \sqrt[3]{x})dx}$ $= \int {\left( {{x^{1/2}} + {x^{1/3}}} \right)dx}$ $= \frac{{{x^{\frac{1}{2} + 1}}}}{{\frac{1}{2} + 1}} + \frac{{{x^{\frac{1}{3} + 1}}}}{{\frac{1}{3} + 1}} + C.$

$= 2\frac{{x\sqrt x }}{3} + \frac{3}{4}x\sqrt[3]{x} + C.$

b) Ta có: $\int {\frac{{x\sqrt x + \sqrt x }}{{{x^2}}}dx}$ $= \int {\left( {\frac{{\sqrt x }}{x} + \frac{{\sqrt x }}{{{x^2}}}} \right)dx}$ $= \int {\left( {{x^{ - 1}}.{x^{1/2}} + {x^{ - 2}}.{x^{1/2}}} \right)dx} .$

$= \int {\left( {{x^{ - 1/2}} + {x^{ - 3/2}}} \right)dx}$ $= \frac{{{x^{ - \frac{1}{2} + 1}}}}{{ - \frac{1}{2} + 1}} + \frac{{{x^{ - \frac{3}{2} + 1}}}}{{ - \frac{3}{2} + 1}} + C$ $= 2\sqrt x - 2\frac{1}{{\sqrt[3]{x}}} + C.$

c) Ta có: $\int 4 {\sin ^2}xdx$ $= 2\int {(1 - \cos 2x)dx}$ $= 2\left( {x - \frac{1}{2}\sin 2x} \right) + C$ $= 2x - \sin 2x + C.$

d) Ta có: $\int {\frac{{1 + \cos 4x}}{2}dx}$ $= \frac{1}{2}\int {(1 + \cos 4x)dx}$ $= \frac{1}{2}\left( {x + \frac{1}{4}\sin 4x} \right) + C.$

$= \frac{1}{2}x + \frac{1}{8}\sin 4x + C.$

Bài 3. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:

Nguyên hàm của hàm $y = x.\sin x$ là:

(A) ${x^2}\sin \frac{x}{2} + C.$

(B) $- x.\cos x + C.$

(C) $- x \cdot \cos x + \sin x + C.$

Lời giải:

Khẳng định (C). Có thể dùng nguyên hàm từng phần:

Đặt $\left\{ {\begin{array}{l} {u = x}\\ {dv = \sin xdx} \end{array}} \right.$ $\Rightarrow \left\{ {\begin{array}{l} {du = dx}\\ {v = - \cos x} \end{array}} \right..$

$\Rightarrow \int x \sin xdx$ $= - x\cos x + \int {\cos xdx}$ $= - x\cos x + \sin x + C.$

Bài 4. Khẳng định sau đúng hay sai:

Nếu $f(x) = (1 - \sqrt x )’$ thì $\int f (x)dx = - \sqrt x + C.$

Lời giải:

Khẳng định đúng.

Vì: $f(x) = (1 - \sqrt x )’ = ( - \sqrt x )’.$