Tìm nguyên hàm bằng phương pháp phân tích

Bài viết hướng dẫn tìm nguyên hàm bằng phương pháp phân tích. Kiến thức và các ví dụ trong bài viết được tham khảo từ các tài liệu  được đăng tải trên khodethi.com.

Phương pháp: Để tìm nguyên hàm $\int {f(x)dx}$, ta phân tích:

$f(x) = {k_1}.{f_1}(x) + {k_2}.{f_2}(x) + … + {k_n}.{f_n}(x).$

Trong đó: ${f_1}(x), {f_2}(x), …, {f_n}(x)$ có trong bảng nguyên hàm hoặc ta dễ dàng tìm được nguyên hàm.

Khi đó: $\int {f(x)dx} = {k_1}\int {{f_1}(x)dx}$ $+ {k_2}\int {{f_2}(x)dx} + … + {k_n}\int {{f_n}(x)dx} .$

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Tìm nguyên hàm:

1. $I = \int {\frac{{2{x^2} + x + 1}}{{x - 1}}dx} .$
2. $J = \int {\frac{{{x^3} - 1}}{{x + 1}}dx} .$
3. $K = \int {{{\left( {x - \frac{1}{x}} \right)}^3}dx} .$

1. Ta có: $\frac{{2{x^2} + x + 1}}{{x - 1}}$ $= 2x + 3 + \frac{4}{{x - 1}}.$

Suy ra $I = \int {(2x + 3 + \frac{4}{{x - 1}})dx}$ $= {x^2} + 3x + 4\ln \left| {x - 1} \right| + C.$

2. Ta có: $\frac{{{x^3} - 1}}{{x + 1}} = \frac{{{x^3} + 1 - 2}}{{x + 1}}$ $= {x^2} - x + 1 - \frac{2}{{x + 1}}.$

Suy ra $J = \int {\left( {{x^2} - x + 1 - \frac{2}{{x + 1}}} \right)dx}$ $= \frac{{{x^3}}}{3} - \frac{{{x^2}}}{2} + x - 2\ln \left| {x + 1} \right| + C.$

3. Ta có: ${\left( {x - \frac{1}{x}} \right)^3}$ $= {x^3} - 3x + \frac{3}{x} - \frac{1}{{{x^3}}}.$

Suy ra $K = \int {\left( {{x^3} - 3x + \frac{3}{x} - \frac{1}{{{x^3}}}} \right)dx}$ $= \frac{{{x^4}}}{4} - \frac{{3{x^2}}}{2} + 3\ln \left| x \right| + \frac{1}{{2{x^2}}} + C.$

Ví dụ 2. Tìm nguyên hàm:

1. $I = \int {\frac{{dx}}{{{{({x^2} - 1)}^2}}}} .$
2. $J = \int {\frac{{{x^3} + 2x + 1}}{{{x^2} + 2x + 1}}dx} .$
3. $K = \int {\frac{{2{x^2} + 1}}{{{{(x + 1)}^5}}}dx} .$

1. Ta có: $\frac{1}{{{{({x^2} - 1)}^2}}}$ $= \frac{1}{4}\frac{{{{\left[ {(x + 1) - (x - 1)} \right]}^2}}}{{{{\left[ {(x - 1)(x + 1)} \right]}^2}}}$

$= \frac{1}{4}\left[ {\frac{1}{{{{(x - 1)}^2}}} - \frac{2}{{(x - 1)(x + 1)}} + \frac{1}{{{{(x + 1)}^2}}}} \right]$ $= \frac{1}{4}\left[ {\frac{1}{{{{(x - 1)}^2}}} - \frac{1}{{x - 1}} + \frac{1}{{x + 1}} + \frac{1}{{{{(x + 1)}^2}}}} \right].$

Suy ra $I = \frac{1}{4}\left[ { - \frac{1}{{x - 1}} + \ln \left| {\frac{{x + 1}}{{x - 1}}} \right| - \frac{1}{{x + 1}}} \right] + C.$

2. Ta có: ${x^3} + 2x + 1$ $= {(x + 1)^3} - 3{(x + 1)^2}$ $+ 5(x + 1) - 2.$

Suy ra $J = \int {(x - 2 + \frac{5}{{x + 1}} - \frac{2}{{{{(x + 1)}^2}}})dx}$

$= \frac{{{x^2}}}{2} - 2x + 5\ln \left| {x + 1} \right| + \frac{2}{{x + 1}} + C.$

3. Ta phân tích $2{x^2} + 1$ $= 2{(x + 1)^2} - 4(x + 1) + 3.$

Suy ra:

$K = \int {\left( {\frac{2}{{{{(x + 1)}^3}}} - \frac{4}{{{{(x + 1)}^4}}} + \frac{3}{{{{(x + 1)}^5}}}} \right)dx}$

$= - \frac{1}{{{{(x + 1)}^2}}} + \frac{4}{{3{{(x + 1)}^3}}} - \frac{3}{{4{{(x + 1)}^4}}} + C.$

Ví dụ 3. Tìm nguyên hàm:

1. $I = \int {{{({e^x} + 2{e^{ - x}})}^2}dx} .$
2. $J = \int {\frac{{{3^x} + {{4.5}^x}}}{{{7^x}}}dx} .$

1. Ta có: ${({e^x} + 2{e^{ - x}})^2}$ $= {e^{2x}} + 4 + 4.{e^{ - 2x}}.$

Suy ra: $I = \int {({e^{2x}} + 4 + 4{e^{ - 2x}})dx}$ $= \frac{1}{2}{e^{2x}} + 4x - 2{e^{ - 2x}} + C.$

2. $J = \int {\left( {{{\left( {\frac{3}{7}} \right)}^x} + 4.{{\left( {\frac{5}{7}} \right)}^x}} \right)dx}$ $= \frac{1}{{\ln \frac{3}{7}}}.{\left( {\frac{3}{7}} \right)^x} + \frac{4}{{\ln \frac{5}{7}}}.{\left( {\frac{5}{7}} \right)^x} + C.$

Ví dụ 4. Tìm nguyên hàm: $I = \int {\frac{{{{\sin }^4}x}}{{{{\cos }^2}x}}dx} .$

$I = \int {\left( {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}} + {{\cos }^2}x - 2} \right)dx}$

$I = \tan x - 2x$ $+ \int {\frac{{dx}}{2}} + \frac{1}{4}\int {\cos 2xd\left( {2x} \right)}$ $ = \tan x - \frac{3}{2}x + \frac{1}{4}\sin 2x + C.$

Ví dụ 5. Tìm nguyên hàm:

1. $I = \int {{{\cos }^4}2xdx} .$
2. $J = \int {(\cos 3x.\cos 4x + {{\sin }^3}2x)dx} .$

1. Ta có: ${\cos ^4}2x = \frac{1}{4}{\left( {1 + \cos 4x} \right)^2}$ $= \frac{1}{4}\left( {1 + 2\cos 4x + {{\cos }^2}4x} \right)$

$= \frac{1}{4}\left( {1 + 2\cos 4x + \frac{{1 + \cos 8x}}{2}} \right)$ $= \frac{1}{8}\left( {3 + 4\cos 4x + \cos 8x} \right)$

$\Rightarrow I = \frac{1}{8}\int {(3 + 4\cos 4x + \cos 8x)dx}$ $= \frac{1}{8}\left( {3x + \sin 4x + \frac{1}{8}\sin 8x} \right) + C.$

2. Ta có: $\cos 3x.\cos 4x = \frac{1}{2}\left[ {\cos 7x + \cos x} \right].$

${\sin ^3}2x = \frac{3}{4}\sin 2x - \frac{1}{4}\sin 6x.$

Nên suy ra: $J = \frac{1}{{14}}\sin 7x + \frac{1}{2}\sin x$ $- \frac{3}{8}\cos 2x + \frac{1}{{24}}\cos 6x + C.$

Ví dụ 6. Tìm nguyên hàm:

1. $I = \int {\left( {\frac{1}{{{{\ln }^2}x}} - \frac{1}{{\ln x}}} \right)dx} .$
2. $J = \int {\frac{{x{e^x} + 1}}{{{{(x + {e^x})}^2}}}dx} .$

1. Ta có: $\frac{1}{{{{\ln }^2}x}} - \frac{1}{{\ln x}} = \frac{{1 - \ln x}}{{{{\ln }^2}x}}$ $= \frac{{x(\ln x)’ - (x)’\ln x}}{{{{\ln }^2}x}} = \left( {\frac{x}{{\ln x}}} \right)’.$

Vậy $I = \int {\left( {\frac{x}{{\ln x}}} \right)’dx} = \frac{x}{{\ln x}} + C.$

2. Ta có: $\frac{{x{e^x} + 1}}{{{{(x + {e^x})}^2}}}$ $= - \frac{{(x + 1)'(x + {e^x}) - (x + {e^x})'(x + 1)}}{{{{(x + {e^x})}^2}}}$ $= - \left( {\frac{{x + 1}}{{x + {e^x}}}} \right)’.$

Suy ra $J = - \frac{{x + 1}}{{x + {e^x}}} + C.$