Ứng dụng định lý Viète trong các bài toán số học

Tài liệu gồm 38 trang được sưu tầm và tổng hợp bởi các tác giả Doãn Quang Tiến và Nguyễn Minh Tuấn, giới thiệu cho bạn đọc một số các bài toán số học có sử dụng định lý Viète (Vi-ét) và nâng cao hơn nữa là phương pháp bước nhảy Viète (Vieta Jumping) để giải quyết các bài toán số học hay và khó. Tài liệu phù hợp với học sinh ôn thi học sinh giỏi môn Toán, hướng đến kỳ thi VMO.

Khái quát nội dung tài liệu ứng dụng định lý Viète trong các bài toán số học:

1 Nhà toán học Francois Viète

2 Định lý Viète

Định lý Viète được trình bày trong sách giáo khoa Toán 9 tập 2, cho ta mối quan hệ giữa các nghiệm của phương trình bậc hai và các hệ số của nó.

3 Các bài toán cơ bản

Tìm hiểu một vài ví dụ trước khi đi tìm hiểu về phương pháp bước nhảy Viète.

4 Phương pháp bước nhảy Viète (Vieta Jumping)

Đây là một phương pháp mạnh để xử lý lớp phương trình Diophantine bậc hai trở lên. Phương pháp: Ta tiến hành qua 2 bước sau:

• Bước 1. Cố định một giá trị nguyên mà đề bài cho, rồi giả sử tồn tại một cặp nghiệm thỏa mãn một vài điều kiện mà không làm mất tính tổng quát của bài toán.
• Bước 2. Dựa vào định lý Viète để tìm các mối quan hệ và sự mâu thuẫn, từ đó tìm được kết luận của bài toán.

Một trong các bài toán nổi tiếng nhất để minh họa cho phương pháp này và luôn xuất hiện trong bất kì các tài liệu nói về vấn đề này, mà mỗi khi nhắc tới học sinh chuyên toán không thể không biết đó chính là bài toán trong kì thi IMO 1988.